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raíz cúbica de números negativos

Disculpa mi falta de conocimiento y experiencia en matemáticas, pero me le vino naturalmente que la raíz cúbica de $-8$ sea desde $-2$ $(-2)^3 = -8$.

Pero cuando revisé Wolfram Alpha para $\sqrt[3]{-8}$, real, me dice no existe.

Llegué a confiar en Wolfram Alpha así que pensé que les pido chicos, para que me expliquen el sentido.

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Ian Terrell Puntos 141

-8 tiene tres raíces cúbicas: $ -2 $ , $1 + i \sqrt{ 3 } $ y $1 - i \sqrt{ 3 } $ . Así que no se puede responder a la pregunta "¿Es $ \sqrt[3]{-8} $ real" sin especificar de cuál de ellos está hablando.

Por alguna razón, WolframAlpha sólo da $1 + i \sqrt{ 3 } $ como respuesta eso me parece un error de WolframAlpha.

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Puedes obtener las tres raíces de WolframAlpha con x^3=-8 pero para cbrt y ^(1/3) (como sqrt y ^(1/2) ) da una única respuesta que por razones de continuidad no está en la recta real negativa.

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En realidad, Wolfram está dando la información correcta principal raíz cúbica. Mathematica está mucho más orientado a la matemática continua que a la discreta, lo que hace que la extensión de la exponenciación a las raíces Impares de números negativos esté muy fuera de lugar.

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La última parte es la única mancha en una respuesta por lo demás excelente.

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Mark McClure Puntos 14421

Aunque han pasado dos años desde que se hizo esta pregunta, a algunos les interesará saber que este comportamiento se ha modificado en WolframAlpha. Si se pide la raíz cúbica de un número negativo, se devuelve la raíz cúbica negativa de valor real. En este caso, acabo de pedir "cbrt -8", por ejemplo:

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Observe el botón "la raíz principal". Eso le permite volver al comportamiento original. Cerca de la parte inferior, seguimos viendo información sobre todas las raíces complejas.

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Podemos graficar funciones que involucran la raíz cúbica y resolver ecuaciones que involucran la raíz cúbica y actúa consistentemente de valor real. Si escribes una ecuación, la resolverá, trazará ambos lados y resaltará las intersecciones. Aquí está "cbrt(x)=sin(2x)"

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Fionnuala Puntos 67259

Ver este . En particular, la raíz cúbica prinicipal tiene parte imaginaria no nula.

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Creo que dice que la raíz cúbica prinicipal tiene parte imaginaria positiva, pero en la práctica toma da una raíz cúbica real no negativa de un real no negativo. De hecho, mirando por ejemplo (-32)^(1/5) , toma la raíz con la menor rotación no negativa en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje real positivo. Observando (-32)^(3/5) parece que toma la quinta raíz antes de la cubicación.

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Rob Lachlan Puntos 7880

Por supuesto, tienes toda la razón sobre $-2$ ser a raíz cúbica de $-8$ .

La cuestión podría ser que en realidad los hay, tres diferentes raíces cúbicas de $-8$ , es decir, las raíces del polinomio $x^3+8$ . Una de estas raíces es real ( $-2$ ), los otros dos son complejos y conjugados entre sí.

Si usted pregunte a Wolfram para la raíz cúbica de $-8$ se obtiene una de estas dos raíces no reales, a saber $1+(1.732050807568877293527446341505872366942805253810380628055...)i$ .

Deduzco que Wolfram está instado a elegir una de las raíces por algún criterio que en este caso lleva a la exclusión de la raíz real. Tal vez la navegación por el sitio de Wolfram pueda ayudar a entender cuáles son estos criterios. (Mi opinión es que se obtiene la raíz $\alpha=re^{i\theta}$ con más pequeños $\theta$ en el rango $[0,2\pi)$ .)

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Shaul Puntos 8267

Cuando los no-computadores calculan la raíz cúbica de (-8), podemos pensar en ello como $(-1*8)^{1/3}$ Entonces tenemos $-1*8^{1/3} = -1*2 = -2$

Wolfram está utilizando la forma compleja polar de -8 = 8cis(π) Entonces la raíz cúbica de esto es 2cis(π/3), que es 1 + i√3 (una forma alternativa en Wolfram)

Por cierto, si tomas $(1 + i\sqrt3)^3$ ¡obtendrás -8!

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