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¿Por qué es una serie infinita no se considera una infinita suma de los términos?

De acuerdo a, por ejemplo, esta excelente página sobre principiante cálculo, una serie infinita NO es una suma infinita de términos.* Ni siquiera estoy seguro de lo que es la afirmación.

Creo que una serie infinita es un infinito número de términos que se suman. Yo también creo que se le puede llamar el límite de su suma parcial $S_n$ $n \to \infty$ pero no estoy seguro de si es o cómo esas dos ideas en conflicto.

¿La infinita suma de los términos "igualdad" el límite de una serie de' suma parcial, y si no ¿por qué no?


*Para citar: "Tenemos que ser cuidadosos con esto, sin embargo. Esto implica que una serie infinita es sólo una infinita suma de los términos y como veremos en la siguiente sección, esto realmente no es cierto." Miré en la siguiente sección, y yo aún no obtienen lo que estás diciendo.

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DiGi Puntos 1925

La operación de adición es un binario de operación: es una operación definida en pares de reales (o complejos) de los números. Cuando escribimos algo como $a+b+c$, al parecer, la suma de tres números, realmente estamos haciendo la suma repetida de dos números, o $(a+b)+c$ o $a+(b+c)$ (asumiendo que no podemos cambiar el orden de los términos); una de las propiedades básicas de esta operación es que en realidad no importa el orden en que hacemos estas binarias repetidas adiciones, porque todos dan el mismo resultado.

Es bastante fácil de entender lo que significa hacer dos adiciones sucesivas para obtener $a+b+c$ o $200$ conseguir $a_0+a_1+\ldots+a_{200}$; no está muy claro de lo que significa hacer infinitamente muchos de ellos para obtener $\sum_{k\ge 0}a_k$. La mejor manera que ha encontrado para dar a este concepto de significado es definir esta suma será el límite de lo finito sumas parciales:

$$\sum_{k\ge 0}a_k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^na_k\tag{1}$$

siempre que el límite exista. Para cada una de las $n$ la suma dentro de los limites en la parte derecha de $(1)$ es una corriente finita suma, el resultado de la realización de $n$ ordinario binario adiciones. Esta es siempre una significativa objeto. El límite puede existir o no; cuando lo hace, es significativo el objeto, también, pero es el resultado de un nuevo tipo de operación. No es el resultado de una infinita cadena de binario adiciones; nosotros ni siquiera se trata de definir tal cosa directamente. Más bien, nos fijamos en finito de sumas de dinero, que podemos definir directamente desde el ordinario de la operación binaria de la suma y, a continuación, tomar su límite. Haciendo esto, combinamos un algebraicas noción, además, con una analítica de la noción, que de tener un límite.

Finito de sumas como $a_0+\ldots+a_{200}$ todos se comportan de la misma manera: que siempre existen, y que podemos poner las condiciones que quiera sin el cambio de la suma. Serie infinita no se comportan de la misma manera: $\sum_{n\ge 0}a_n$ no siempre existe, y arrastrando los pies el orden de los términos puede en algunos casos cambiar el valor. Esto realmente es una nueva operación, con propiedades diferentes.

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Pedro Tamaroff Puntos 73748

La serie no disfrutar de todas las propiedades atractivas habitual finito de sumas de hacer. Por ejemplo:

La alteración de paréntesis pueden alterar la suma. Sabemos que $$(1-1)+(1-1)+\cdots=0+0+\cdots=0$$ but $$1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots=1+0+0+\cdots=1$$

Por lo tanto, la introducción de paréntesis altera la suma. Y la eliminación de ellos:

$$1-1+1-1+1-1+1-+\cdots$$

nos da una divergente suma!

Dos convergente la serie, se puede producir un divergentes de la serie sobre la multiplicación Tome $$S=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt n}$$

Se puede demostrar que esta converge por el uso de Leibniz en la Prueba. Pero el producto de Cauchy de $S$ con la misma diverge, ya que la serie armónica diverge.

La suma de los números racionales, se puede producir un número irracional Tomar, como ejemplo $$\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}6$$$$\sum_{n\geq 1} \frac{(-1)^{n-1}}n=\log 2$$

El orden en que los hemos términos de suma asuntos Por ejemplo, si tomamos la serie Armónica, siempre podemos tomar positivos y negativos de los términos a nuestro gusto para que la suma de cualquier número que desee. Este es un caso particular de un teorema por Riemann

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Clement C. Puntos 16603

El problema, tenemos que discutir aquí es que para algunas series de cada uno de estos arreglos de términos puede tener valores diferentes a pesar del hecho de que están usando exactamente los mismos términos.

Que es conocida como la de Riemann teorema de las series semi-convergente la serie; pero si nos fijamos en una serie como "una infinita suma de los términos", este no debe contener (los términos son los mismos, por lo que la suma debe ser).

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abyss.7 Puntos 130

Además, en un principio, se define por un par de números. A partir de este que siempre se puede definir la suma de un número finito de números. Aviso que esto requiere de una definición.

Definición: $a_1+a_2+...a_n:= a_1+(a_2+(a_3+...a_n)...)$.

Entonces, para esta definición que usted necesita para probar un montón de cosas. Entre estos, demostrar que la nueva definición de símbolo $a_1+\ldots+a_n$ está de acuerdo con otros 'natural' maneras de definir el $a_1+\ldots+a_n$. Por ejemplo, que es también igual al definir que la colocación de los soportes de otras maneras, al definir que la colocación de los números en otras formas, que se distribuye con la multiplicación. Todo esto necesita ser investigada. Por suerte te las arreglas para probar y funcionan las cosas muy similares a la suma de dos números.

Ahora tiene un nuevo símbolo $a_1+a_2+\ldots$ que desea definir. Como cualquier definición que se puede hacer en cualquier forma que te gusta. Hay muchas maneras de definir, no sólo como el límite de las sumas parciales. Como antes, a continuación, quisiera tener propiedades que, como para la suma de $n$ números, hace que se vea como una suma de dos números.

El problema de este tercer paso es que las cosas no funcionan tan bien. Diferentes maneras de definir que no resultan ser equivalentes (algunos " la suma de los procedimientos convergen, mientras que otros no, algunos convergen diferentes sumas). La asociatividad no funciona.

Resumiendo: 1) $a_1+a_2$ 2) $a_1+a_2+\ldots+a_n$ y 3) $a_1+a_2+\ldots$

son tres diferentes definiciones. Lo que ocurre es que el 2 es muy similar a la 1, y 3 es un poco similar a la 1, pero no tanto como el 2.

1voto

Andreas Blass Puntos 33024

Incluso cuando uno utiliza la misma palabra "suma" de finito e infinito sumas de (números reales), es importante recordar que las dos nociones son conceptualmente muy diferentes.

(1) Finito de sumas puede ser definido exclusivamente de manera algebraica, sólo por el uso repetido de la primitiva operación de suma de dos números. Infinitas sumas que se requieren para su definición de la noción de límite.

(2) Finito de sumas existir siempre; usted puede agregar cualquier lista finita de números reales. Infinitas sumas no tiene que existir; algunos infinito de la serie no converge.

(3) Como Clemente C. señalado, incluso cuando la serie infinita de hacer converger, no tienen necesidad de satisfacer a todos los algebraica de las leyes que se aplican a finito de sumas.

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