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Cálculo gráfico en categorías de fusión cruzada G trenzada: Solicitud de explicación y una pregunta

Estoy tratando de entender la equivalencia entre la categoría 2 de categorías cruzadas de G y la categoría 2 de categorías cruzadas que contienen Rep(G) como categoría simétrica. Las referencias de este importante trabajo:

http://arxiv.org/pdf/0906.0620.pdf

me llevó a este artículo de Alexander Kirillov Jr:

http://de.arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0104/0104242v1.pdf

que también tiene referencias a algunos trabajos anteriores del mismo autor.

No estoy familiarizado con el cálculo gráfico ya que no trabajo mucho con categorías modulares tensoriales. Me gustaría que alguien me escribiera la fórmula (no de cálculo gráfico) para el morfismo T_X de la Fórmula 4.5 en la página 14 de este documento.

El círculo horizontal probablemente como suele significar la dimensión dim X y la línea vertical punteada es la identidad de A.La curva punteada entre el círculo y la línea debe ser la estructura \mu_X de X como un módulo A en C. Lo que no entiendo es cómo se aplican la evaluación y la coevaluación para acabar de nuevo en A.

También tengo la siguiente pregunta:

Qué es el trenzado cruzado G $X\otimes_A Y \rightarrow \;^gY\otimes_A X$ si $X \in Rep_g(A)$ en la configuración de este documento?

El trenzado se da en el primer documento como el único morfismo que extiende el trenzado inicial de C. Estaba pensando que tal vez en la configuración del documento de Kirillov se puede escribir directamente una fórmula f para el trenzado.
Gracias de antemano por su ayuda.

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Jon Galloway Puntos 320

Te recomiendo que te familiarices con la notación gráfica. Como verás en mi respuesta, otros enfoques ("fórmulas") están por debajo de la media.

La fórmula (4.1) de la página 14 del artículo enlazado de Kirillov define un morfismo $T_X : A \to A$ de la siguiente manera. Primero, $A$ es un objeto de álgebra rígida en una categoría modular $\mathcal C$ (con todos los asociadores suprimidos, y el trenzado denotado $\beta_{M,N} : M\otimes N \to N\otimes M$ ), y $X$ es un rígido $A$ -módulo. Escribiré la multiplicación en $A$ por $m_A$ y la acción de la izquierda de $A$ en $X$ por $m_X$ . Al no haber leído detenidamente el documento, creo que "rígido" significa que $A$ y $X$ son cada uno isomorfo a sus propios duales, y que este isomorfismo se elige para tener buenas propiedades de compatibilidad. En particular, $A$ debería ser, de hecho, un álgebra de Frobenius para este isomorfismo, y quizás uno simétrico. Escribiré la unidad como $u_X : 1 \to X\otimes X$ y el país como $\epsilon_X : X\otimes X \to 1$ y de forma similar para $A$ . Entonces podemos considerar la siguiente composición: $$ \begin{eqnarray} A & \to & X \otimes X \otimes A & \quad\quad & (u_X \otimes \mathrm{id}_A) \\ & \to & X \otimes A \otimes X && (\mathrm{id}_X \otimes \beta_{X,A}) \\ & \to & X \otimes A \otimes A \otimes A \otimes X && (\mathrm{id}_A \otimes \mathrm{id}_X \otimes u_A \otimes \mathrm{id}_{X}) \\ & \to & X \otimes A \otimes X && (\mathrm{id}_X \otimes m_A \otimes m_X) \\ & \to & X \otimes X \otimes A && (\mathrm{id}_X \otimes \beta_{A,X}) \\ & \to & A && (\epsilon_X \otimes \mathrm{id}_A) \end{eqnarray} $$ O, por decirlo de otra manera, $$ T_X = (\epsilon_X \otimes \mathrm{id}_A) \circ (\mathrm{id}_X \otimes \beta_{A,X}) \circ (\mathrm{id}_X \otimes m_A \otimes m_X) \circ (\mathrm{id}_A \otimes \mathrm{id}_X \otimes u_A \otimes \mathrm{id}_{X}) \circ (\mathrm{id}_X \otimes \beta_{X,A}) $$

El caso es que esto es un lío, y es totalmente poco esclarecedor de lo que realmente está pasando. Además, los axiomas de coherencia aseguran que hay muchas formas equivalentes de escribir el mapa anterior. Por ejemplo, podría haber sustituido los dos últimos pasos $(\epsilon_X \otimes \mathrm{id}_A) \circ (\mathrm{id}_X \otimes \beta_{A,X})$ con $(\mathrm{id}_A \otimes \epsilon_X) \circ (\beta_{X,A}^{-1} \otimes \mathrm{id}_X)$ .

En cuanto a su segunda pregunta, no he encontrado ningún lugar en el documento donde se utilice esa notación. Podría hacer conjeturas, pero quizás alguien más haya estudiado este documento con más detenimiento.

Una última observación no matemática: La frase "curva perforada" tiene un significado técnico en varias áreas, incluyendo áreas cercanas a este trabajo, para significar una superficie compacta de Riemann con un número finito de puntos eliminados (o variaciones de esta noción). El término estándar de "fuente" en el que Kirillov dibuja su $A$ de los hilos es "discontinua", en lugar de "sólida" para $X$ . Y un buen término para los bordes en tales diagramas es "hebras" - también he visto "bordes" y "cuerdas", pero este último en particular es problemático porque para un físico una "cuerda" es algo que a través del tiempo traza una superficie ("worldsheet"), mientras que un significado de estos cálculos gráficos son algunas "partículas" $A$ y $X$ viajando a través del tiempo y trazando así "líneas de mundo".

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