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Subgrupos Aditivos de los Reales.

¿Alguien sabe si existe una clasificación de los subgrupos de los números reales tomados bajo suma? Si no, ¿alguien puede indicarme la dirección de cualquier documento/material que analice las propiedades o hechos interesantes sobre estos subgrupos?

21voto

Yannick Motton Puntos 136

Si desea clasificar los subgrupos en el sentido de la medida de Lebesugue, puede encontrar útiles los siguientes datos.

(1) Cualquier subgrupo propio medible de la recta real es de medida $0$.

(2) Cualquier subgrupo no medible $G$ de la línea real cobra completamente en todas partes, es decir, para cualquier intervalo $I$, $m^{\ast}(G \cap I)=|I|$, donde $m^{\ast}(\cdot)$ denota la medida exterior de Lebesgue.

(3) Existe un subgrupo no medible de la recta real.

18voto

Alex Coplan Puntos 270

Me sorprende que nadie haya declarado el hecho más obvio (aunque supongo que la respuesta de Xianghong se acerca bastante), que es que un subgrupo aditivo de los reales tiene la forma $a\mathbb{Z}$ o es denso en la línea real. (una consecuencia obvia de la división con resto).

9voto

Bruce Atkinson Puntos 26

El artículo de 2002 de Simon Thomas en JAMS proporciona una medida precisa de "desesperadamente complicado". A medida que aumenta el rango de los grupos, también aumenta la complejidad del problema de clasificación.

7voto

Peter Humphries Puntos 842

Si está interesado en la clasificación topológica, esto podría serle útil: Farah y Solecki: subgrupos Borel de grupos polacos, Advances in Mathematics 199, 2006, 499-541.

Entre muchas otras cosas, uno de sus resultados muestra que para cualquier ordinal contable $\alpha \neq 2$ y $\beta \geq 2$, hay subgrupos aditivos $\Pi_{\alpha}^{0}$-completos y $\Sigma_{\beta}^{0}$-completos de cualquier incontable grupo polaco. Para grupos polacos abelianos conectados, Mauldin mostró esto previamente al refinar un resultado de Klee.

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