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Relaciones entre sumas de poderes

Esta pregunta es tan ingenua que podría haberse hecho antes en este sitio. Si es así, lo borraré.

Entre hermosas fórmulas, me gusta mucho esta: $$\left(\sum{n=1}^Nn\right)^2=\sum{n=1}^Nn^3.$$ ¿Existe alguna otra relación algebraica entre los polinomios $P_k$ definidos por $$Pk(N):=\sum{n=1}^Nn^k \qquad?$$ Sospecho que sí, porque $1,P_0,P1,\ldots$ es una base de ${\mathbb Q}[X]$ (pero no una base del $\mathbb Z$-módulo ${\mathbb Z}[X]$), y si uno reemplaza $P{\ell m}$ por $P_\ell P_m$, obtenemos otra base. Pero, ¿hay buenas relaciones?

8voto

Richard Stanley Puntos 19788

Una buena referencia es http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/2975368.pdf.bannered.pdf.

5voto

Eric Puntos 246

La forma correcta de pensar en este tipo de cosas es a través de la caída factorial. Poner $$ n^{\underline k} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1).$$ Entonces $$ \sum_{n=1}^{N-1} n^{\underline k} = \frac{1}{k+1} N^{\underline{k+1}}$$ y $$ \Delta n^{\underline k} = (n+1)^{\underline k} - n^{\underline k} = k n ^{\underline{k-1}}$$ para $k,N$ razonable. Conociendo el cálculo, estas son las mejores fórmulas agradables.

3voto

Garrett Puntos 894

No estoy totalmente seguro de que esto responda completamente a sus preguntas, pero tales relaciones son conocidas por valores impares de $k$: $$P{2h+1}=\frac{1}{2^{2h+2}(2h+2)} \sum{q=0}^h \binom{2h+2}{2q} (2-2^{2q})~ B_{2q} ~\left[(8P1+1)^{h+1-q}-1\right]$$ donde los $B{2q}$'s son números de Bernoulli (ver la fórmula de Faulhaber en Wikipedia).

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