Definición alternativa del coseno hiperbólico sin recurrir a la función exponencial

Question

Las funciones trigonométricas ordinarias se definen independientemente de la función exponencial, y luego se demuestra que están relacionadas con ella mediante la fórmula de Euler.

¿Se puede definir el coseno hiperbólico de forma que la fórmula $$\cosh{x}=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$$ se convierte en algo probado ?

Answer 1

Los de mentalidad más geométrica tomamos $\cosh u$ y $\sinh u$ definirse mediante la "hipérbola unitaria", $x^2 - y^2 = 1$ de forma directamente análoga a $\cos\theta$ y $\sin\theta$ . En concreto, dado $P$ un punto de la hipérbola con vértice $V$ y definiendo $u$ como dos veces el área del sector hiperbólico $OVP$ entonces $\cosh u$ y $\sinh u$ son, respectivamente $x$ - y $y$ -coordenadas de $P$ .

Al igual que en la trigonometría circular, podemos asignar medidas $u$ (en "radianes hiperbólicos") a ángulos ---desde el ángulo plano (cuando $u=0$ ) a medio ángulo recto (cuando $u=\infty$ )--- y asociar esas medidas a las longitudes de las correspondientes $\cosh$ y $\sinh$ segmentos. Y, al igual que en la trigonometría circular (antes de la aparición de los números imaginarios), podríamos ser perdonados por sospechar que las correspondencias $u \leftrightarrow \cosh u$ y $u \leftrightarrow \sinh u$ son "no aritméticos", es decir: que ningún fórmula aritmética convierte las medidas angulares en sus valores trigonométricos asociados.

Sin embargo, resulta que las correspondencias son no no aritmética; para encontrar la fórmula de conversión aritmética adecuada, sólo necesitamos un poco de cálculo...

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Edita. (¡Dos años después!) Comprueba en el historial de ediciones un argumento poco elegante que ahora racionalizo con la ayuda de este trigonógrafo, en el que las longitudes de la hipérbola unitaria se han escalado por $\sqrt{2}$ (y, por tanto, zonas por $2$ ):

Como la hipérbola es rectangular, tenemos que $|OX|\cdot|XY|$ es una constante (aquí, $1$ ), lo que garantiza que las regiones etiquetadas $v$ tienen la misma superficie (a saber, $1/2$ ), y por lo tanto que las regiones etiquetadas $u$ tienen la misma superficie (a saber, $u$ ). Ahora, el poco de cálculo que prometí, para evaluar $u$ como el área bajo la curva recíproca: $$u = \int_1^{|OX|}\frac{1}{t}dt = \ln|OX| \quad\to\quad |OX| = e^{u} \quad\to\quad |XY| = \frac{1}{e^u}$$ Con eso, tenemos claramente $$2\,\sinh u \;=\; e^{u}- e^{-u} \qquad\qquad 2\,\cosh u \;=\; e^{u} + e^{-u}$$ como desee. Muy fácil.

Fin de la edición.

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Que los radianes hiperbólicos se definan duplicando el área de un sector hiperbólico puede parecer contradictorio con la definición común de los radianes circulares en términos de longitud de arco, pero es difícil discutir con éxito, dada la elegancia de las fórmulas anteriores. Aun así, la definición hiperbólica del doble del área del sector puede verse como directamente análogo al caso circular, ya que los radianes circulares son también definible como "dos veces el sector-área": En el círculo unitario, el sector con medida de ángulo $\pi/2$ radianes tiene área $\pi/4$ (es un cuarto de círculo), el sector con medida de ángulo $\pi$ radianes tiene área $\pi/2$ (es un semicírculo), y el "sector" con medida de ángulo $2\pi$ radianes tiene área $\pi$ (es el círculo completo); en estos casos, y en todos los demás, la medida del ángulo es el doble del área del sector.

Answer 2

Bueno, eso se suele tomar simplemente como la definición, pero dado que

$$\cos x=\cosh ix$$

puede estar pidiendo una prueba de que

$$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$

Por el teorema de Taylor, sabemos que

$$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$

Así que

$$e^{ix}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+i\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}=\cos x+i\sin x$$

Utilizando $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ , exprés $e^{ix}+e^{-ix}$ en términos de $\cos x$ , observando que la función coseno es par y la función seno es impar.

Answer 3

Esto se suele considerar la definición de $\cosh$ por lo que en realidad no se puede probar.