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¿Que $n$ hay primitivos triples Pythagorean con piernas de longitud $a$ y $a+n$?

¿Que puede n %#% resolver #%, donde $a^{2}+(a+n)^{2}=c^{2}$ son enteros positivos? He encontrado soluciones $a,b,c,n$ y múltiplos de $n=1,7,17,23,31,41,47,79,89$... ¿Hay infinitamente muchos % prime $7,17,23$para que sea soluble?

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HappyEngineer Puntos 111

El general primitiva solución a $x^2+y^2 = z^2$ está dado por: $x=u^2-v^2$, $y=2uv$, $z=u^2+v^2$, con $u,v$ relativamente primos y no tanto extraño.

Para $(a,a+n,z)$ a ser un primitivo triple, tendríamos que tener un $(u,v)$: $|u^2 - v^2 - 2uv| = n$. Podemos reescribir ese como: $(u-v)^2 - 2v^2 = \pm n$

Así, la configuración de $w = u-v$, queremos encontrar a $(w,v)$ que son relativamente primos y $w$ es impar, con:

$$w^2-2v^2 = \pm n$$

Esto significa que $n$ debe ser impar.

De hecho, podemos utilizar la factorización única en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ que $n$ puede ser cualquier producto de números primos de la forma $8k\pm 1$. Desde que existen infinitos números primos de la forma $8k\pm 1$, la respuesta a tu pregunta es "sí".

(Ah, y una vez que encuentre una solución a $(w,v)$ para un determinado $n$, usted puede encontrar una infinidad de soluciones para ese $n$.)

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Shar1z Puntos 148

$2a^{2}+2na+n^{2}=c^{2}$--> $a=-\frac{-n+\sqrt{2c^{2}-n^{2}}}{2}$--> allí son soluciones iff $x^{2}+n^{2}=2c^{2}$ soluciones--> encontrar el conjunto de los cuadrados de los enteros 0 en el conjunto de tal que $y=2x-n$ entonces hay un pitagórico primitivo triple con una diferencia de n entre las piernas y también para cualquier múltiple un if n > 1 desde if $k^{2}\equiv x(\mod{n})$ y $(Ak)^{2} \equiv Ax(\mod{An})$--> $Ay=2Ax-An$.

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pedja Puntos 7773

Si usted resolver expresión para $n$ consigue

$n=\sqrt{c^2-a^2}-a$, vamos a denotar $b=\sqrt{c^2-a^2}$,por lo que tenemos que $n=b-a$

Ahora,tomar mirada en la foto de abajo.Tenga en cuenta que $AD=a$,e $BD=b-a=n$

Si cambia el valor de $b$ y mantener $a$ a ser constante obtendrá un número infinito de triángulos rectángulos,y por lo tanto infinito número de valores de $n=b-a$,así que la respuesta es sí, existen infinitos números primos $n$ para que la ecuación tiene solución.

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