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¿La inversa de una matriz simétrica es también simétrica?

Dejemos que $A$ sea una matriz simétrica invertible, $A^T=A$ , $A^{-1}A = A A^{-1} = I$ ¿Se puede demostrar que $A^{-1}$ ¿también es simétrico?

Creo recordar una demostración similar a esta de mi clase de álgebra lineal, pero ha pasado mucho tiempo y no la encuentro en mi libro de texto.

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Alex Okrushko Puntos 111

No puedes usar lo que quieres demostrar en la propia prueba, así que a las respuestas anteriores les faltan algunos pasos. Aquí tienes una prueba más completa. Dado que A es no singular y simétrico, demuestre que $ A^{-1} = (A^{-1})^T $ :

$$ I = I^T $$

desde $ AA^{-1} = I $ ,

$$ AA^{-1} = (AA^{-1})^T $$

desde $ (AB)^T = B^TA^T $ ,

$$ AA^{-1} = (A^{-1})^TA^T $$

desde $ AA^{-1} = A^{-1}A = I $ , reordenamos el lado izquierdo

$$ A^{-1}A = (A^{-1})^TA^T $$

desde $ A = A^T $ sustituimos el lado derecho

$$ A^{-1}A = (A^{-1})^TA $$ $$ A^{-1}A(A^{-1}) = (A^{-1})^TA(A^{-1})$$ $$ A^{-1}I = (A^{-1})^TI $$ $$ A^{-1} = (A^{-1})^T $$

y hemos terminado.

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Seirios Puntos 19895

De hecho, $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$ . De hecho, $A^T(A^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=I$ .

29voto

Jim Petkus Puntos 3447

Sí.

$$ AB=BA=I\quad\Rightarrow\quad B^TA^T=A^TB^T=I\quad\Rightarrow\quad B^TA=AB^T=I $$

22voto

Navid Puntos 21

Otra forma de verlo es recordar la fórmula $$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \mathrm{Adj}(A)^T$$ y observar que la matriz adyacente de una matriz simétrica es por construcción simétrica.

20voto

Drew Jolesch Puntos 11

Sí. La inversa $A^{-1}$ de la matriz simétrica invertible también es simétrica:

\begin {align} A & = A^T \tag {Supuesto: $A$ es simétrico} \\ \\ A^{-1} & = (A^T)^{-1} \tag { $A$ invertible $\implies A^T = A$ invertible} \\ \\ A^{-1} & = (A^{-1})^T \tag {identidad: $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ } \\ \\ & { \large \therefore } \quad \rlap { \text {Si $A$ es simétrica e invertible, entonces $A^{-1}$ es simétrico}} \end {align}

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