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Incrustación compacta del espacio fraccionario

¿Es el espacio $H^\lambda((0,T); H^1(K))$ para $0 <\lambda <1$ donde $K$ es un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^n$ incrustado de forma compacta en $L^2( (0,T) \times K)$ ?

$H^\lambda((0,T); H^1(K))\hookrightarrow \hookrightarrow L^2((0,T) ; H^1(K))\hookrightarrow \hookrightarrow L^2((0,T); L^2(K))$ . ¿Dónde puedo encontrar este tipo de resultados?

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Marvin F. Puntos 75

Hay (al menos) dos maneras de probar $H^\gamma(0,T;H^1) \hookrightarrow \hookrightarrow L^2(0,T;L^2).$

  1. $H^\gamma(0,T;H^1) \hookrightarrow H^\gamma(0,T;(H^1)') \cap L^2(0,T;H^1) \hookrightarrow \hookrightarrow L^2(0,T;L^2).$
  2. $H^\gamma(0,T;H^1) \hookrightarrow \hookrightarrow L^2(0,T;H^1) \hookrightarrow L^2(0,T;L^2).$

Tenga en cuenta que no se consigue que $L^2(0,T;H^1) \hookrightarrow \hookrightarrow L^2(0,T;L^2)$ como se indica en la pregunta. Esto no es cierto. Por ejemplo, tomemos la secuencia $f_n(t,x)=\sin(nt)x$ .

Primero: Ben Schweizer "Ecuaciones diferenciales parciales", Teorema 24.2

Dejemos que $V,X,V_0$ sean espacios de Hilbert tales que $V \hookrightarrow \hookrightarrow X \hookrightarrow V_0$ . Entonces para $T<\infty$ y $\gamma>0$ tenemos $$H^\gamma(0,T;V_0) \cap L^2(0,T;V) \hookrightarrow \hookrightarrow L^2(0,T;X).$$

Segundo: Usted obtiene $H^\gamma(0,T) \hookrightarrow \hookrightarrow L^2(0,T)$ de la incrustación fraccional de Sobolev.

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