Hay (al menos) dos maneras de probar $H^\gamma(0,T;H^1) \hookrightarrow \hookrightarrow L^2(0,T;L^2).$
- $H^\gamma(0,T;H^1) \hookrightarrow H^\gamma(0,T;(H^1)') \cap L^2(0,T;H^1) \hookrightarrow \hookrightarrow L^2(0,T;L^2).$
- $H^\gamma(0,T;H^1) \hookrightarrow \hookrightarrow L^2(0,T;H^1) \hookrightarrow L^2(0,T;L^2).$
Tenga en cuenta que no se consigue que $L^2(0,T;H^1) \hookrightarrow \hookrightarrow L^2(0,T;L^2)$ como se indica en la pregunta. Esto no es cierto. Por ejemplo, tomemos la secuencia $f_n(t,x)=\sin(nt)x$ .
Primero: Ben Schweizer "Ecuaciones diferenciales parciales", Teorema 24.2
Dejemos que $V,X,V_0$ sean espacios de Hilbert tales que $V \hookrightarrow \hookrightarrow X \hookrightarrow V_0$ . Entonces para $T<\infty$ y $\gamma>0$ tenemos $$H^\gamma(0,T;V_0) \cap L^2(0,T;V) \hookrightarrow \hookrightarrow L^2(0,T;X).$$
Segundo: Usted obtiene $H^\gamma(0,T) \hookrightarrow \hookrightarrow L^2(0,T)$ de la incrustación fraccional de Sobolev.