Quiero mostrar a $E(X)=\sum_{n=1}^{\infty}P(X\ge n)$

Question

Deje $X:\Omega \to \mathbb N$ ser una variable aleatoria en el espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal B,P)$ .mostrar que $$E(X)=\sum_{n=1}^{\infty}P(X\ge n).$$

mi definición de $E(X)$ es igual $$E(X)=\int_{\Omega}XdP.$$

Gracias.

Answer 1

Definición de $E(X)$ discretas $X$$E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)$.

$P( X \ge i ) = P( X = i ) + P( X = i + 1 ) + \dots$

Así

$\sum_i P( X \ge i ) = P( X \ge 1 ) + P( X \ge 2 ) + \dots = $

$= P( X = 1 ) + P( X = 2 ) + P( X = 3 ) + ... + P(X = 2 ) + P( X = 3 ) + ... =$

(nos rearange los términos en la última expresión)

$= 1 \cdot P( X = 1 ) + 2 \cdot P( X = 2 ) + 3 \cdot P( X = 3 ) \dots=$

$= \sum_i i \cdot P( X = i )$

q.e.d.

Answer 2

Me gusta de enero de respuesta. Me gustaría sugerir una manera de escribir la serie, de modo que el ojo capta la reordenación más fácilmente (esta es la forma en que me gusta escribir en el pizarrón)? $$ \begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty P(X\geq k) &=& \quad P(X\geq 1) \quad=\quad P(X=1)&+&P(X=2)&+&P(X=3) &+& \;\dots\\ &+& \quad P(X\geq 2) &+& P(X=2) &+&P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad P(X\geq 3) && &+& P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad\quad\;\; \dots && &&&+& \;\dots\\ \end{eqnarray} $$ (El reordenamiento es, matemáticamente, el sonido, porque esta es una serie de términos positivos.)

Answer 3

Creo que la forma habitual de hacer esto es mediante la escritura

$X =\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)$

$E(X) =E(\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n))$

y, a continuación, invertir el orden de la expectativa y la suma (por Tonelli del teorema)