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¿Por qué la base de un logaritmo debe ser un número real positivo no igual a 1?

¿Por qué la base de un logaritmo debe ser un número real positivo no igual a 1? y ¿por qué debe $x$ ser positivo?

Gracias.

13 votos

¿Puedes resolver $1^x=2$ para $x$ ? ¿Puede resolver $x^2=-1$ para $x$ a real ¿número?

1 votos

Puedo resolver (-2)^3=-8. Entonces, ¿por qué no es aceptable escribir log_(-2)(-8)=3?

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@JoseRamirez Te refieres a que sólo escribes $\log_{-2}{-8}$ por sí mismo, mientras que no permite $y=\log_{-2}{x}$ como una función? Me lo pregunto. Tal vez usted tiene un punto.

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Fly by Night Puntos 17932

Por definición, $\log_bx$ es el número por el que se toma $b$ a esa potencia, se obtiene $x$ . En símbolos: $$b^{\log_b x} = x$$ Por ejemplo, ¿qué poder necesitamos para elevar $2$ para conseguir $4$ ? Bueno, es $\log_24 = 2$ . ¿Qué poder necesitamos para elevar $81$ para conseguir $9$ ? Bueno, es $\log_{81}9 = 0.5$ .

Pregúntese qué $\log_1x$ significa. Es el poder, dicen $p$ para lo cual $1^p=x$ .

A menos que $x=1$ no hay solución, y cuando $x=1$ cualquier poder servirá, así que $\log_11$ es un número cualquiera.

Por la misma razón $\log_0$ no tiene sentido porque no podemos resolver $0^y=x$ a menos que $x=0$ y cuando $x=0$ Cualquier poder servirá, así que $\log_01$ puede ser cualquier número.

¿Por qué los logaritmos sólo pueden aplicarse a argumentos positivos? Bueno, $\log_2(-1)$ sería la potencia, digamos $p$ para lo cual $2^p = -1$ . Con suerte, puede ver que $2^p > 0$ para todos los números reales $p$ .

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Supongo que cuando $b$ es negativo hay múltiples soluciones, por ejemplo $\log_{-1} 1$ será igual a $0$ y $2$ ¿es eso cierto?

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@MahmoudAhmed Eso no es cierto. Dejamos el logaritmo sin definir en ese caso, como decías en tu pregunta original: el logaritmo sólo está definido para una base positiva. Nos podría dicen que $\log_{-1} 1 $ es 0 y 2, y 4, y 6, y -18, pero no hay valor en hacer eso.

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Esto no responde a la pregunta de por qué la base del logaritmo no puede ser negativa.

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Robin Puntos 39

Esta explicación se basa en mi propia lógica, así que no pienses que es un libro de texto, ni mucho menos.

Consideremos una hipotética base negativa de $-4$ por lo que la función indefinida (inexistente) $y$ $=$ $log$$ _{-4} $$(x)$ . Este logaritmo sería la inversa de la función $y$ $=$ $(-4)$$ ^x $, which can only be evaluated for exponents that can be written as a fraction where the denominator is odd. Remember a rational exponent, such as $ (-4) $$^{a/b}$ representa un radical, a saber $\sqrt[b]{(-4)^a}$ y un número negativo sólo puede evaluarse para una raíz impar (utilizando números reales). Por ejemplo, $(-4)$$ ^{1/2} $ means $\sqrt {-4}$ que es una respuesta no real.

Así, una función exponencial con base negativa, como $y$ $=$ $(-4)$$ ^x $ isn't much of a function at all (it is not continuous), since it can only be evaluated at very specific x-values. So, a logarithm with a negative base, like $ y $ $ = $ $ Registro $$_{-4}$$ (x) $ would also only work for very specific arguments (due to its connection to the non-continuous $ y $ $ = $ $ (-4) $$^x$ ) y dicha función logarítmica tampoco sería continua.

Es por estas razones que sólo consideramos logaritmos con bases positivas, ya que las bases negativas no son continuas y generalmente no son útiles. Espero que esta información tenga sentido y sea útil.

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Gracias, esta es una excelente explicación.

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Esta es una pregunta antigua, pero no podía $y=(-4)^{a/b}$ también se evaluará para $a$ incluso y $b$ ¿impar o impar? La razón es que $(-4)^a$ donde $a$ es par sería un número positivo que, por tanto, puede aparecer bajo raíz par o impar.

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@pseudomarvin, creo que Robin quiere decir que $(-4)^{a/b}$ tiene una solución en general sólo cuando $b$ es impar. Si $a$ es par, entonces $b$ no necesita ser impar, pero eso no es cierto en general.

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Quentin Puntos 1

No soy en absoluto un matemático, pero durante una rápida reflexión, acabo de encontrarme una explicación sencilla :

Siempre he aprendido que $\log a(x) = \ln(x)/\ln(a)$ Como todo dentro de una función ln, a debe ser estrictamente positivo. Y como $\ln(a)$ está en el denominador, $\ln (a) \ne 0$ Así que $a \ne 1$

Por eso la base debe ser positiva y diferente de 1.

Estoy bastante seguro de que no es riguroso en absoluto, pero tal vez sea más fácil de recordar?

Gracias por sus comentarios

4 votos

Esta pregunta ya tiene una respuesta bien aceptada . Su comentario no aporta nada nuevo

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¿Qué quiere decir con como todo dentro de una función ln, a debe ser estrictamente positivo ?

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7raiden7 Puntos 852

Porque el logaritmo es la función inversa de la operación exponencial, es decir: si $a^b=c$ entonces $b=\log_a(c)$ .

Como puede ver, si $a=1$ , $1^b=1, \forall b\in\mathbb{R}$ y no tendría sentido estudiar este caso.

En cuanto a su signo: si $a<0$ entonces $a=(-1)\cdot a^*$ Así que..: $$ a^b=(-1)^b\cdot (a^*)^b, $$ que llevará a una alternancia de signo, y sería más difícil de estudiar.

Si $a>0$ así, también $c>0$ .

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¿Qué es a*? ¿El valor absoluto de a? (Nunca he visto esta notación, de ahí la pregunta).

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@Teacher123 He actualizado la respuesta, efectivamente no había razón de esa anotación

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Daniel Engelkes Puntos 11

Creo que se puede tomar el logaritmo de un número negativo dependiendo de la base. por ejemplo, resolver la solución de-2^x=-8 que se puede reescribir como log_(-2) (-8)=3

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