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La convergencia de esta serie

A partir de una antigua Putnam : Probar que si $(x_n)$ es una secuencia de números reales positivos, y $\sum{x_n}$ converge, entonces también lo hace $\sum{(x_n)^{\frac{n}{n+1}}}$.

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Siméon Puntos 8691

Siguiente sos440 de la pista.

Para cada $x > 0$$n \in \Bbb N$, tenemos $$ x^\frac{n}{n+1} \leq \max\left(2^{-n},2x\right)< 2x + 2^{-n} $$ En efecto:

  • cualquiera de las $x \leq 2^{-(n+1)}$$x^\frac{n}{n+1} \leq 2^{-n}$,
  • o $x > 2^{-(n+1)}$ $x^\frac{n}{n+1} = x \times x^{-\frac{1}{n+1}} < 2x$

Así, $$ \sum_{n=0}^\infty x_n^\frac{n}{n+1} < 2\sum_{n=0}^\infty x_n + \sum_{n=0}^\infty 2^{-n} < \infty $$

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