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¿Cuán lejos está el $p$-ádico de números algebraicamente cerrado?

Hace un par de días estaba recordando algunos hechos acerca de los $p$-ádico números, por ejemplo el hecho de que el $p$-ádico métrica es una ultrametric implica fuertemente que no hay orden en $\mathbb{Q}_p$, como a cualquier número en el interior de una bola está en el hecho de su centro.

Yo sé que si usted toma la finalización de la clausura algebraica de los $p$-ádico de la finalización de obtener algo que es isomorfo a $\mathbb{C}$ (este resultado fue muy sorprendente hasta que he estudiado el modelo de la teoría, luego se volvió obvio).

Además, si el algebraicas cierre es de una extensión de la dimensión $2$, a continuación, el campo está disponible, o incluso real cerrada. De cualquier manera, esto implica que el $p$-ádico números no tienen esta propiedad.

Así que tengo que pensar, hay un $p$-ádico número cuyo cuadrado es igual a $2$? $3$? $2011$? Para que los números primos p$$? Cuánto hacia abajo el agujero del conejo de números algebraicos pueden ir dentro de los $p$-ádico números? Hay resultados generales conexión de la elección (o más bien propiedades) de $p$ a la "cantidad" de algebraica de cierre se da?

32voto

Bryan Roth Puntos 3592

Hace un par de días estaba recordando algunos hechos acerca de la p-ádico números, por ejemplo el hecho de que el p-ádico métrica es una ultrametric implica fuertemente que no hay orden en $\mathbb{Q}_p$, como a cualquier número en el interior de una bola está en el hecho de su centro.

Este argumento no es correcto. Por ejemplo, ¿por qué no se aplican a $\mathbb{Q}$ con $p$-ádico métrica? De hecho en cualquier campo en el que se admite un orden, también admite un trivial no Arquimedianos métrica.

Es cierto a pesar de que $\mathbb{Q}_p$ no puede ser ordenado. Por el Artin-Schreier teorema, esto es equivalente al hecho de que $-1$ es una suma de cuadrados. El uso de Hensel del Lexema y un poco de la forma cuadrática de la teoría no es difícil demostrar que $-1$ es una suma de cuatro cuadrados en $\mathbb{Q}_p$.

Yo sé que si usted toma la finalización de la algebraicas cerca de la p-ádico de la finalización de obtener algo que es isomorfo a $\mathbb{C}$ (este resultado fue muy sorprendente hasta que he estudiado el modelo de la teoría, luego se volvió obvio).

No me refiero a la selección, pero estoy familiarizado con el modelo básico de la teoría y no veo la manera de que ayuda a establecer este resultado. Más bien es básico de la teoría de campo: dos algebraicamente cerrado campos de iguales características y trascendencia absoluta grado son isomorfos. (De este a la integridad de la teoría de la algebraicamente cerrado campos de cualquier característica dada de la siguiente manera fácil, por Vaught de la prueba.)

Así que tengo que pensar, hay un $p$-ádico número cuyo cuadrado es igual a 2? 3? En el 2011? Para que los números primos p$$?

Todas estas respuestas dependen de $p$. La situación general es el siguiente: por alguna extraña $p$, el grupo de los cuadrados de las clases de $\mathbb{Q}_p^{\times}/\mathbb{Q}_p^{\times 2}$ -- que parametriza cuadrática extensiones -- ha pedido $4$, es decir, hay exactamente tres cuadrática extensiones de $\mathbb{Q}_p$ dentro de cualquier algebraica de cierre. Si $u$ es un número entero que no es un cuadrado modulo $p$, entonces estas tres extensiones se dan más a fondo adjoinging $\sqrt{p}$, $\sqrt{u}$ y $\sqrt{up}$. Cuando $p = 2$ el grupo de la plaza de clases tiene cardinalidad $8$, es decir, hay $7$ cuadrática extensiones.

Cuánto hacia abajo el agujero del conejo de números algebraicos se puede ir en el interior de la p-ádico números? Hay resultados generales conexión de la elección (o más bien propiedades) de $p$ a la "cantidad" de algebraica de cierre se da?

No sé exactamente lo que está buscando como una respuesta aquí. La absoluta grupo de Galois de $\mathbb{Q}_p$ es, en cierto sentido, más bien se entiende bien: es un infinito profinite grupo sino que es "pequeño" en el sentido técnico de que sólo hay un número finito de abiertos subgrupos de cualquier índice. También cada finito de extensión de $\mathbb{Q}_p$ es solucionable. Todo es vago -- pero justo -- a decir que los campos de $\mathbb{Q}_p$ son "mucho más cerca de ser algebraicamente cerrado" que el campo $\mathbb{Q}$, pero "no como cerca de ser algebraicamente cerrado" como el campo finito de $\mathbb{F}_p$. Esto puede ser hecho preciso de diversas maneras.

Si usted está interesado en la $p$-ádico números que usted debe leer el nivel intermedio de la teoría del número de textos en los campos de la región. Por ejemplo esta página recopila las notas de un curso (en parte) de los campos que me enseñaron en la primavera pasada. Yo también recomiendo los libros llamados Campos Locales: uno por Cassels y uno por Serre.

Añadido: véase, en particular, las Secciones 5.4 y 5.5 de este conjunto de notas para obtener información acerca de la cantidad de $n$th poder de las clases y el número de extensiones de campo de un grado determinado.

14voto

YequalsX Puntos 320

Suponga que $K$ es un número algebraico de campo, es decir, de un número finito de extensión de $\mathbb Q$. Tiene un anillo de enteros de $\mathcal O_K$ (la integral de cierre de $\mathbb Z$ en $K$). Supongamos que existe un primer ideal $\wp \subconjunto \mathcal O_K$ tales que:

  1. $p \in \wp,$ pero $p \no\en \wp^2$.

  2. El orden de $\mathcal O_K/\wp = p.$ (Tenga en cuenta que (1) implica en particular que $\wp \cap \mathbb Z = p \mathbb Z$, de modo que $\mathcal O_K/\wp$ es una extensión de $\mathbb Z/p\mathbb Z$. Ahora estamos exigiendo que es, de hecho, ser el trivial de la extensión).

A continuación, el número de campo $K$ incrusta en $\mathbb Q_p$. Lo contrario también es.

Así que si quieres saber si se puede resolver la ecuación de $f(x) = 0$ en $\mathbb Q_p$ (donde $f(x)$ es algún polinomio irreducible en $\mathbb Q[x]$), a continuación, establezca $K = \mathbb Q[x]/f(x)$ y aplicar este criterio. Esto es más fácil cuando $f(x)$ tiene coeficientes enteros, y sigue siendo separables cuando se reduce mod p $$ (algo que se puede comprobar mediante el cálculo del discriminante y ver si o no es divisible por p$$), porque en este caso el criterio es equivalente a pedir que $f(x)$ tiene una raíz mod $p$.

Por cierto, hay muchos $f(x)$ que satisfacen este criterio (porque, entre otras las cosas, la clausura algebraica de $\mathbb Q$ en $\mathbb Q_p$ tiene un grado infinito de más de $\mathbb Q$), pero también hay muchos $f(x)$ que no.

3voto

Matt Dawdy Puntos 5479

Un monic polinomio $f$, con coeficientes en $\mathbb{Z}$ tiene una raíz en $\mathbb{Z}_p$ si y sólo si tiene una raíz en $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ para todo $n$; esto es debido a que $\mathbb{Z}_p$ puede ser definida como el límite ("límite inversa") de $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$. Hensel del lema indica en qué valor de $n$ se puede detener la búsqueda y le da un algoritmo para determinar si existe una raíz fija de $f$ y $p$.

Una condición necesaria es que $f$ necesidades que tiene una raíz en $\mathbb{F}_p$, y si $p$ no dividen el discriminante de $f$ creo que esta condición también es suficiente. Fijo $p$, ¿está usted buscando una descripción de todos los $f$? No sé que puedo ser más específico que "el conjunto de todos los polinomios con una raíz en $\mathbb{F}_p$." Usted acaba de tomar todos los polinomios en $\mathbb{F}_p[x]$, con raíces en $\mathbb{F}_p$ y eleva a $\mathbb{Z}$. ¿Quieres un algoritmo para determinar cuando $f$ tiene esta propiedad? Evaluar en cada punto. No estoy realmente seguro de lo que usted está buscando aquí.

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