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Cero evitar enteros

Digamos que un entero $n>2$ es cero evitar, si, por cada $2\leq b < $ n, la representación de la $n$ en la base de $b$ no $0$ dígitos. (Obviamente cada $n$ tiene $0$ cuando se escriben en la base de $n$ e no $0$ en cualquier base de más de $n$.)

No es difícil comprobar que $3$ y $7$ son cero evitar y que cada cero evitando número debe ser un Mersenne prime.

Mi pregunta es esta: ¿hay cero evitar enteros de distinto $3$ y $7$? Sospecho que no, porque la condición parece muy restrictiva (más y más, así como $n$ aumenta) y primos Mersenne ya son muy raros. Se siente como una prueba de que esto no debe ser demasiado duro, pero no he logrado pensar en uno y tengo la curiosidad de si he pasado por alto algo que debería ser obvio.

Editado para añadir algunas reflexiones: Si $n = 2^p-1$ es cero evitar y superior a los $9$ (so $p>3$), $n$ no puede ser menos de $3$ modulo $9$. Desde $2^6 \equiv 1 \pmod{9}$, de ello se sigue que, si $p\equiv 1 \pmod{6}$, entonces $n\equiv 1 \pmod{9}$. Desde $p>3$ es primo por lo tanto, debe haber $p\equiv 5\pmod{6}$. Consideraciones similares modulo $27$ demostrar que $p\equiv 11,17\pmod{18}$, y el modulo de $81$ que $p\equiv 29, 47, 35, 53 \pmod{54}$. De hecho, para cada posibilidad para $p$ modulo $2\cdot 3^{m-2}$, podemos por consideraciones modulo $3^m$ eliminar exactamente uno de los correspondientes tres posibilidades para $p$ modulo $2\cdot 3^{m-1}$ para $n>3^m$. Por desgracia, no siempre es el menos importante de los tres que se elimina, pero un poco de cálculo sugiere que todavía puede haber esperanza de conseguir una prueba de este método. Uno puede hacer cosas similares en otros primer bases, pero la base de $3$ parece ser la más prometedora.

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Sólo algunas pequeñas observaciones: La cantidad de $n$'s menos de $b^k$ que no tiene ceros en base de $b>2$ es $$ N(b,k)=\sum_{i=1}^k(b-1)^i=\frac{(b-1)^{k+1}-b+1}{b-2} $$ aquí $n=1$ es contado demasiado, ya que hace que la fórmula un poco más elegante. Por $b=2$, la cifra es simplemente $N(2,k)=k$.

Ahora bien, si hemos de fijar unos $n\in\newcommand{\N}{\mathbb N}\N$ $$ n\leq b^k\Leftrightarrow k\geq\log_b(n)=\frac{\ln(n)}{\ln(b)} $$ Por lo que $k=\lceil ln(n)/ln(b)\rceil$ será el mínimo de $k$ para $n\leq b^k$.

Entonces, si asumimos (que sin duda es malo, pero de todos modos) que cero evitar los números son simplemente extendió por una uniforme distribución aleatoria entre los números enteros de $1,2,...,n$ en una forma independiente de la elección de la base $b$, podemos calcular algún tipo de pseude-probabilidad de encontrar un número con cero dígitos en base de $b$ entre los primeros $n$ el uso de las observaciones anteriores:

Deje que $P(b,k)=N(b,k)/b^k$ denotar la probabilidad de que un azar $n$ menos de $b^k$ no tiene ningún cero dígitos en base de $b$. También vamos a $P(n)$ denotar la probabilidad de que $n$ no tiene ningún cero dígitos en cualquier base de $2\leq b<$ n. Entonces $$ \begin{align} P(n)&=\prod_{b=2}^{n-1}P(b,\lceil ln(n)/ln(b)\rceil)\\ &=\prod_{b=2}^{n-1}\frac{b^{\lceil ln(n)/ln(b)\rceil+1}-b+1}{b^{\lceil ln(n)/ln(b)\rceil}(b-2)} \end{align} $$ Y esto es cuando he llegado a la conclusión, que yo no sé ni por qué me quería estado esta en el primer lugar :-)

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