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¿Por qué la matriz de proyección de una proyección ortogonal es simétrica?

Soy bastante nuevo en esto, así que espero que me perdone si la pregunta es ingenua. (Contexto: Estoy aprendiendo econometría del libro de Davidson & MacKinnon "Teoría y métodos econométricos" y no parecen explicar esto; también he mirado Luenberger libro de optimización que trata de las proyecciones a un nivel un poco más avanzado, pero sin suerte).

Supongamos que tengo una proyección ortogonal $ \mathbb P$ con su matriz de proyección asociada $ \bf P$ . Estoy interesado en proyectar cada vector en $ \mathbb {R}^n$ en algún subespacio $A \subset \mathbb {R}^n$ .

Pregunta ¿Por qué se deduce que $ \bf {P}=P$$ ^T $, that is, $ \bf ¿P$ es simétrico? ¿Qué libro de texto podría mirar para este resultado?

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Nathan Long Puntos 30303

Este es un resultado fundamental del álgebra lineal sobre las proyecciones ortogonales. Un enfoque relativamente simple es el siguiente. Si $u_1, \ldots , u_m$ son vectores ortonormales que abarcan un $m$ -subespacio dimensional $A$ y $ \mathbf {U}$ es el $n \times p$ matriz con la $u_i$ como las columnas, entonces $$ \mathbf {P} = \mathbf {U} \mathbf {U}^T.$$ Esto se deriva directamente del hecho de que la proyección ortogonal de $x$ en $A$ puede ser computado en términos de la base orthonormal de $A$ como $$ \sum_ {i=1}^m u_i u_i^T x.$$ Se deduce directamente de la fórmula anterior que $ \mathbf {P}^2 = \mathbf {P}$ y que $ \mathbf {P}^T = \mathbf {P}.$

También es posible dar un argumento diferente. Si $ \mathbf {P}$ es una matriz de proyección para una proyección ortogonal, entonces, por definición, para todos $x,y \in \mathbb {R}^n$ $$ \mathbf {P}x \perp y- \mathbf {P}y.$$ Por consiguiente,
$$0 = ( \mathbf {P} x)^T (y - \mathbf {P}y) = x \mathbf {P}^T (I - \mathbf {P}) y = x ( \mathbf {P}^T - \mathbf {P}^T \mathbf {P}) y $$ para todos $x, y \in \mathbb {R}^n$ . Esto demuestra que $ \mathbf {P}^T = \mathbf {P}^T \mathbf {P}$ de donde $$ \mathbf {P} = ( \mathbf {P}^T)^T = ( \mathbf {P}^T \mathbf {P})^T = \mathbf {P}^T \mathbf {P} = \mathbf {P}^T.$$

3voto

JohnRos Puntos 3211

Un intento de intuición geométrica... Recuerda eso:

  1. Una matriz simétrica es auto-adhesiva.
  2. Un producto escalar está determinado sólo por los componentes de la mutuo espacio lineal (e independiente de los componentes ortogonales de cualquiera de los vectores).

Lo que quieres "ver" es que una proyección es auto-adhesiva y por lo tanto simétrica siguiendo (1). ¿Por qué es así? Considere el producto escalar de un vector $x$ con la proyección $A$ de un segundo vector $y$ : $ < x,Ay > $ . A continuación (2), el producto dependerá sólo de los componentes de $x$ en el lapso de la proyección de $y$ . Así que el producto debería ser el mismo que $ < Ax,Ay > $ y también $ < Ax,y > $ siguiendo el mismo argumento.

Desde $A$ es auto-adhesivo es simétrico.

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