11 votos

Encontrar los ángulos de un paralelogramo sin trigonometría



Me pregunto si es posible resolver para $x^{\circ}$ en términos de $a^{\circ}$ $b^{\circ}$ que $ABCD$ es un paralelogramo. En particular, me pregunto si es posible resolverlo utilizando sólo los "elementales de la geometría". No estoy seguro de lo "elemental de la geometría" generalmente implica, pero estoy tratando de resolver este problema sin la trigonometría.

Es posible? O si no, hay una manera de mostrar que no es solucionable con sólo "elemental de la geometría" técnicas?

4voto

Philip Fourie Puntos 12889

Permítanme reformular su pregunta primera: ¿Puede el ángulo de $x$ en el diagrama se expresa en términos de los ángulos $a$ $b$ utilizando sólo la suma, resta, multiplicación, división, exponenciación, $\pi$, y auxiliares de los números racionales, y no trig o funciones trigonométricas inversas? (Por ejemplo, se $x$ una expresión como $(a+2b)^{3/2}$?)

Aquí es una fuerte evidencia de que la respuesta es no. Si $a=\frac{\pi}{2}$ $b=\frac{\pi}{3}$ (los dos "más simple" ángulos para jugar con), a continuación, nos puede permitir el acceso a la trigonometría, podemos demostrar que $$x=2\arctan\left(\sqrt{13}-2\sqrt{3}\right)=\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)$$

Por lo que tendría que creer que esta expresión es igual a una combinación de $\frac{\pi}{2}$ $\frac{\pi}{3}$ utilizando sólo la suma, resta, multiplicación, división, exponenciación, $\pi$, y auxiliares de los números racionales. Dudo mucho que este. (La trascendencia de $\pi$ $\arctan$ puede ser usado para probar que no es posible - pero eso es sólo mi conjetura.)

2voto

Stephan Aßmus Puntos 16

El ejemplo de alex.jordania no terminar el asunto, y otros similares pueden ser construidos. Tenemos un ángulo $$ \theta = \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{12}} \right) $$ y queremos saber si $ x = \frac{\theta}{\pi} $ es la raíz de una ecuación con coeficientes racionales.

Bien, $$ e^{i \theta} = \sqrt{\frac{12}{13}} + i \sqrt{\frac{1}{13}} $$ Siguiente, $\cos 2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = \frac{11}{13}.$, por tanto, por el Corolario 3.12 en la página 41 de NIVEN sabemos que $2 \theta$ no es un racional múltiples de $\pi.$ Así, ni es $\theta,$ y $$ x = \frac{\theta}{\pi} $$ es irracional.

Ahora, el logaritmo es multivalor en el plano complejo. Podemos elegir $$ \log(-1) = \pi i. $$ With real $x,$ hemos elegido $$ (-1)^x = \exp(x \log(-1)) = \exp(x\pi i) = \cos \pi x + i \sin \pi x. $$ Con nuestra $ x = \frac{\theta}{\pi}, $ hemos $$ (-1)^x = e^{i \pi x} = e^{i \theta} = \sqrt{\frac{12}{13}} + i \sqrt{\frac{1}{13}} $$ El lado derecho es algebraico.

El Gelfond-Schneider Teorema, Niven página 134, dice que si $\alpha,\beta$ son cero algebraica de los números, con $\alpha \neq 1$ $\beta$ no es un verdadero número racional, entonces cualquier valor de $\alpha^\beta$ es trascendental.

Tomando $\alpha = -1$ $\beta = x,$ que es real, pero irracional. Estamos SUPONIENDO que el $x$ es algebraico sobre $\mathbb Q.$ de La asunción, junto con Gelfond-Schneider, dice que $ (-1)^x$ es trascendental. Sin embargo, ya sabemos que el $ (-1)^x = \sqrt{\frac{12}{13}} + i \sqrt{\frac{1}{13}} $ es algebraico. Esto contradice la hipótesis. Por lo $x = \theta / \pi$ es trascendental, con $ \theta = \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{12}} \right) $

1voto

Matthew Scouten Puntos 2518

En el caso de $a = \pi/2$, $x = \arccos \left( 2\,{\frac {\sin \left( b \right) }{\sqrt {4-3\, \cos^2 \left( b \right) }}} \right)$. This is not an algebraic function of $b$, because its derivative is $\frac{dx}{db} = \frac{2}{3 \cos^2 b - 4}$ for $-\pi/2 < b < \pi/2$, and $\cos(b)$ no es una expresión algebraica de la función.

0voto

Steve Puntos 21

Teniendo en cuenta los triángulos ACP y de la ABP, donde P es el punto donde las diagonales interceptar, tenemos, de los senos de la' ley: $\sin{x}/\sin{a} = \sin{\theta}/\sin{b}$, $\theta$ siendo el ángulo entre la diagonal menor y la línea AB.

A continuación,$\sin{\theta} = \sin{x} \, \dfrac{\sin{b}}{\sin{a}}$.

Ahora, tenga en cuenta que, en el triángulo de la ACP, la suma de los ángulos internos es $\,x+a+b+\theta = 180^{\circ}$, por lo tanto $\sin{\theta} = \sin{(x+a+b)}$.

Por lo tanto: $\sin{x} \, \dfrac{\sin{b}}{\sin{a}} = \sin{(x+a+b)} = \sin{x} \, \cos{(a+b)} + \sin{(a+b)} \, \cos{x}$.

Esto implica que $\cot{x} = \dfrac{\sin{b}}{\sin{a} \, \sin{(a+b)}} - \cot{(a+b)}$.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by: