¿Son los conjuntos Singleton en $\mathbb{R}$ tanto cerrado como abierto

Question

Creo que los conjuntos monopartitos $\{x\}$ donde $x$ es miembro de $\mathbb{R}$ son tanto abiertos como cerrados.

Los conjuntos monopartitos son abiertos porque $\{x\}$ es un subconjunto de sí mismo. No hay puntos en la vecindad de $x$ .

Quiero saber si los conjuntos de solteros son cerrados o no.

Answer 1

Como se ha señalado, la noción de "abierto" y "cerrado" no es absoluta, sino que depende de un topología . Por lo tanto, para responder a su pregunta hay que preguntarse primero qué topología está considerando.

Un espacio topológico es un par, $(X,\tau)$ , donde $X$ es un conjunto no vacío, y $\tau$ es una colección de subconjuntos de $X$ tal que:

• $\emptyset$ y $X$ son ambos elementos de $\tau$ ;
• Si $A$ y $B$ son elementos de $\tau$ entonces $A\cap B$ es un elemento de $\tau$ ;
• Si $\{A_i\}_{i\in I}$ es una familia arbitraria de elementos de $\tau$ entonces $\bigcup_{i\in I}A_i$ es un elemento de $\tau$ .

Los elementos de $\tau$ se dice que son "abiertas" (en $X$ en la topología $\tau$ ), y un conjunto $C\subseteq X$ se dice que es "cerrado" si y sólo si $X-C\in\tau$ (es decir, si el complemento está abierto).

En $\mathbb{R}$ podemos dejar que $\tau$ sea la colección de todos los subconjuntos que son uniones de intervalos abiertos; equivalentemente, un conjunto $\mathcal{O}\subseteq\mathbb{R}$ es Abrir si y sólo si para cada $x\in\mathcal{O}$ existe $\epsilon\gt 0$ tal que $(x-\epsilon,x+\epsilon)\subseteq\mathcal{O}$ . Es posible que quiera convencerse de que la colección de todos esos conjuntos satisface las tres condiciones anteriores y, por tanto, hace $\mathbb{R}$ un espacio topológico. Esta topología es lo que se llama la topología "habitual" (o "métrica") sobre $\mathbb{R}$ .

Si está trabajando dentro de $\mathbb{R}$ con esta topología, entonces los singletons $\{x\}$ son ciertamente cerrados, porque sus complementos son abiertos: dado cualquier $a\in \mathbb{R}-\{x\}$ , dejemos que $\epsilon=|a-x|$ . Entonces $x\notin (a-\epsilon,a+\epsilon)$ Así que $(a-\epsilon,a+\epsilon)\subseteq \mathbb{R}-\{x\}$ Por lo tanto $\mathbb{R}-\{x\}$ está abierto, por lo que $\{x\}$ está cerrado.

La razón que da para $\{x\}$ para ser abierto no tiene realmente sentido. Cada es un subconjunto de sí mismo, por lo que si ese argumento fuera válido, todo conjunto sería siempre "abierto"; pero sabemos que no es así en cada espacio topológico (ciertamente no en $\mathbb{R}$ con la "topología habitual"). Así que ese argumento ciertamente no funciona.

Entonces: ¿es $\{x\}$ abrir en $\mathbb{R}$ en la topología habitual? Bueno, $x\in\{x\}$ . ¿Existe un $\epsilon\gt 0$ tal que $(x-\epsilon,x+\epsilon)\subseteq \{x\}$ ? Si es así, enhorabuena, has demostrado que el conjunto está abierto. Si no hay tal $\epsilon$ y lo demuestran, entonces, enhorabuena, han demostrado que $\{x\}$ no está abierto.

Answer 2

Si está dando $\{x\}$ la topología del subespacio y preguntar si $\{x\}$ está abierto en $\{x\}$ en esta topología, la respuesta es sí. Sólo hay una topología posible en un conjunto de un punto, y es discreta (e indiscreta). Sin embargo, si se consideran los monopuntos como subconjuntos de un espacio topológico mayor, esto dependerá de las propiedades de ese espacio. Como indica Trevor, la condición de que los puntos están cerrados es (equivalente a) el $T_1$ y, en particular, es verdadera en todos los espacios métricos, incluyendo $\mathbb{R}$ . Cuando $\{x\}$ está abierto en un espacio $X$ entonces $x$ se llama punto aislado de $X$ . Si todos los puntos son puntos aislados, la topología es discreto . En los números reales, por ejemplo, no hay puntos aislados; todo conjunto abierto es una unión de intervalos abiertos.

En resumen, si se trata de la topología habitual en la recta real, los conjuntos de un solo dígito son cerrados pero no abiertos.

Answer 3

Todo conjunto unitario es cerrado. Basta con demostrar que el complemento es abierto. Consideremos $\{x\}$ en $\mathbb{R}$ . Entonces $X\setminus \{x\} = (-\infty, x)\cup(x,\infty)$ que es la unión de dos conjuntos abiertos, por tanto, abiertos. Como el complemento de $\{x\}$ está abierto, $\{x\}$ está cerrado.

Answer 4

Depende de la topología que estés viendo. Para $T_1$ los conjuntos únicos son siempre cerrados. Así, para la topología estándar en $\mathbb{R}$ Los conjuntos únicos son siempre cerrados.

Answer 5

Supongamos para un espacio topológico (X,T) que los conjuntos de solteros {x} \subset X están cerrados. Entonces todo conjunto puntuado X/{x} es abierto en esta topología. Si estos conjuntos forman una base para la topología T entonces T debe ser la topología cofinita con U \in T si y sólo si |X/U| es finito. Esto se debe a que las intersecciones finitas de los conjuntos abiertos generarán todo conjunto con un complemento finito. De forma equivalente, las uniones finitas de los conjuntos cerrados generarán todo conjunto finito.