Un compañero estudiante de posgrado, estaba trabajando en este problema aparentemente sencillo que parece tener tanto nos atascado. (El problema, naturalmente, surgió en su trabajo por lo que no a partir de la literatura como ya sabemos).
Vamos $M$ ser un espacio métrico homeomórficos a la cerrada de la unidad de disco $D^n\subconjunto \mathbb{R}^n$. Llamamos un espacio métrico un $$n-celda. Deje que $\mbox{Isom}(M)$ ser el grupo de bijective isometrías $M\rightarrow M$.
Si $M$ es un $$n-celda, ¿existe un punto $p\in M$ tal que $\varphi(p)=p$ para todo $\varphi\en \mbox{Isom}(M)$?
Claramente un $p$ no necesitan ser únicos.
Hasta ahora, el mejor intento ha sido el considerar un conjunto que es invariante bajo isometrías, de la siguiente manera.
Deje que $\parcial M$ ser el límite de $M$ y definir una función $f\colon M\rightarrow \mathbb{R}$ $f(x)=\sup_{y\in\parcial M}\{d(x,y)\}$, que es continua, y como $M$ es compacto debe alcanzar su mínimo de decir $m$. A continuación, deja que $$A=\{p\M\mid f(p)=m\}.$$ Es decir, $A$ es (no vacío) conjunto de puntos en $M$ que minimizan la distancia máxima hasta el límite de $M$.
Debe quedar claro que, si $\varphi$ es una isometría en $M$, entonces $\varphi(A)=A$, y sería de esperar que $A$ es, de hecho, un único punto (o, al menos, fijo pointwise en lugar de sólo setwise). Sin embargo, ha demostrado que esto no es claro. Es evidente que hay algo que falta aquí como la topología en el $n$de células es crucial. Por ejemplo, un anillo no tiene tal punto fijo y el conjunto $A$ sería el límite interior del círculo.
Es posible que el anteriormente establecido no es la forma correcta de abordar el problema. Es posible también que existe un contraejemplo y hay algunos que se $M$ sin punto fijo. Cualquier ayuda es muy apreciada.