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¿Homeomorfa al disco implica existencia de punto fijo común a todos los isometries?

Un compañero estudiante de posgrado, estaba trabajando en este problema aparentemente sencillo que parece tener tanto nos atascado. (El problema, naturalmente, surgió en su trabajo por lo que no a partir de la literatura como ya sabemos).

Vamos $M$ ser un espacio métrico homeomórficos a la cerrada de la unidad de disco $D^n\subconjunto \mathbb{R}^n$. Llamamos un espacio métrico un $$n-celda. Deje que $\mbox{Isom}(M)$ ser el grupo de bijective isometrías $M\rightarrow M$.

Si $M$ es un $$n-celda, ¿existe un punto $p\in M$ tal que $\varphi(p)=p$ para todo $\varphi\en \mbox{Isom}(M)$?

Claramente un $p$ no necesitan ser únicos.

Hasta ahora, el mejor intento ha sido el considerar un conjunto que es invariante bajo isometrías, de la siguiente manera.

Deje que $\parcial M$ ser el límite de $M$ y definir una función $f\colon M\rightarrow \mathbb{R}$ $f(x)=\sup_{y\in\parcial M}\{d(x,y)\}$, que es continua, y como $M$ es compacto debe alcanzar su mínimo de decir $m$. A continuación, deja que $$A=\{p\M\mid f(p)=m\}.$$ Es decir, $A$ es (no vacío) conjunto de puntos en $M$ que minimizan la distancia máxima hasta el límite de $M$.

Debe quedar claro que, si $\varphi$ es una isometría en $M$, entonces $\varphi(A)=A$, y sería de esperar que $A$ es, de hecho, un único punto (o, al menos, fijo pointwise en lugar de sólo setwise). Sin embargo, ha demostrado que esto no es claro. Es evidente que hay algo que falta aquí como la topología en el $n$de células es crucial. Por ejemplo, un anillo no tiene tal punto fijo y el conjunto $A$ sería el límite interior del círculo.

Es posible que el anteriormente establecido no es la forma correcta de abordar el problema. Es posible también que existe un contraejemplo y hay algunos que se $M$ sin punto fijo. Cualquier ayuda es muy apreciada.

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studiosus Puntos 19728

Contrario a nuestra intuición, la respuesta es negativa: No son lisas, las acciones de grupos compactos de $G\veces D^n\D^n$ (incluso grupos finitos) sobre cerrado $n$-disco $D^n$ ($$n suficientemente grande), de modo que la acción es isométrica con respecto a algunos de Riemann métrica en $D^n$ y no tiene ningún punto en $D^n$ fijado por el grupo $G$. Teniendo en cuenta la distancia de la función definida por la métrica de Riemann, uno obtiene las acciones de grupos compactos de isometrías de la resultante de espacio métrico, que no tienen un punto fijo en $D^n$.

Aquí es donde los ejemplos son provenientes de:

  1. Dado un suave colector $M$ (posiblemente con límite) y una acción suave de un compacto grupo $G$ en $M$, que se denota $G\times M\a M$, existe un $G$-invaraint métrica de Riemann $ds^2$ en $M$. Este estándar es un hecho comprobado por la toma arbitraria de Riemann métrica $ds_o^2$ en $M$ y el promedio es bajo la acción del grupo $G$. Si $G$ es finito, el promedio de los procedimientos es justo $$ ds^2= \frac{1}{|C|} \sum_{g\in G} g^*(ds_o^2). $$ Si $G$ es compacto, se reemplaza la suma con la integral sobre la medida de Haar de $G$.

  2. Por lo tanto, queda a encontrar grupos compactos que actúa suavemente sobre $D^n$ sin un punto fijo. Los primeros ejemplos de este tipo fueron construidos por Conner y Richardson, en el caso de que $G$ es el icosaédrica grupo, es decir, el grupo de $I$ de la orientación de la preservación de las simetrías de la regular 3-dimensional icosaedro. Más tarde, Oliver construido un ejemplo de una acción suave de $SO(3)$ en $D^8$ que no tiene un punto fijo (en particular, en el subgrupo de $I<SO(3)$ no fijar un punto en $D^8$). Usted puede encontrar una descripción detallada de Oliver ejemplo, referencias e información adicional en la encuesta:

M. Davis, Un estudio de los resultados en las dimensiones superiores, En "El herrero Conjetura", (editores: J. W. Morgan y H. Bass), Academic Press, Nueva York, 1984, https://people.math.osu.edu/davis.12/old_papers/survey.pdf

En el lado positivo, si se equipa $D^n$, con una métrica de Riemann de valor no positivo de curvatura $ds^2$, de modo que el límite es convexa, entonces el grupo de isometría de $(D^n, ds^2)$ tiene un punto fijo en $D^n$: Este es un corolario de Cartan del teorema de Punto Fijo. Usted puede encontrar una prueba de este último por ejemplo, en Petersen "Geometría de Riemann" libro. Creo que, Kirill en su respuesta estaba tratando de reproducir la prueba de Cartan del teorema, sin que el valor no positivo de la curvatura de la asunción (que, por supuesto, no se puede hacer).

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Eric Lee Puntos 136

Esto es sólo probablemente correcta incorrecta. Voy a asumir que el colector es un colector de Riemann, diffeomorphic a un $n$-disco, no estoy seguro de si esto hace una gran diferencia para usted. Creo que hay un problema con esto si $M$ tiene más de un mínimo geodésica entre algunos pares de puntos.

Considere la función "significa el cuadrado de la distancia de un punto dado": $$ f(x) = \int_M d(x,y)^2\,dy. $$

Dado un vector $v$ tangente a $M$ en $x$ y otro punto $y$ en $M$, sabemos que $\partial_v d(x,y) = 0$ cuando $v$ es ortogonal a $t$, la unidad de vector tangente a la mínima geodésica pasando de $$ x $y$ y que $\partial_t d(x,y) = -1$.

Por tanto, para un vector arbitrario $v$ tangente en $x$, $\partial_v d(x,y) = -(v,t)$, y así: $$ \partial_v f(x) = -2\int_M dy\,d(x,y)(v,t), $$ donde $t\in TM_x$ es una función de la variable de integración de $$y, y el de Hesse de $f$ es $$ H(w,v) = \partial_w \partial_v f(x) = 2\int_M dy\,(w,t)(v,t), $$ $$ H = 2\int_M t^*\otimes t^*. $$

Este Hess es positiva definida por todas partes en $M$, y por lo que $f$ no tiene degenerados de los puntos críticos en $M$, y es por tanto una función de Morse. Morse teoría implica que, si $m_k$ es el número de puntos críticos de $f$ de índice $k$ (índice de un punto crítico es el número de la disminución de las direcciones), tenemos $$ \sum_{0\leq k\leq n} (-1)^k m_k = \chi(M), $$ donde $\chi(M)$ es la característica de Euler de $M$ (la alternancia suma de sus números de Betti).

Por último, $H$ es positiva definida, por lo que $m_k = 0$ para $k>0$ y $\chi(M)=1$ porque $M$ es diffeomorphic a la unidad de disco. Por lo tanto $$ m_0 = 1, $$ y por lo que $f$ alcanza su mínimo en exactamente un punto, el cual debe ser invariante bajo todas las isometrías porque es un conjunto de nivel de $f$, que es una función invariante bajo isometrías.

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