33 votos

Instructivas pruebas en análisis funcional

Estoy empezando a aprender el análisis funcional (de Folland y Royden), pero soy de un no-matemático de fondo, por lo que a menudo me encuentro con técnicas en las pruebas que yo no estoy familiarizado con (por ejemplo la prueba de la asignación abierta teorema).

Una curiosidad ociosa enmascarado como una pregunta pedagógica, lo que son las pruebas de algunos teoremas en el análisis funcional que hacer uso de técnicas/construcciones/resultados que uno debe estar familiarizado con? Estoy feliz de ver redirecciones a determinados teoremas en los textos.

Esta pregunta bien podría ser llamado - ¿cuál es tu favorito instructivo de la prueba en el análisis funcional?

18voto

M Turgeon Puntos 6708

Aquí es una prueba del teorema de Alaoglu que me parece bonito (que podría ser en realidad el estándar de la prueba):

Si $X$ es una normativa espacio vectorial, la bola unidad cerrada $B^*=\{f\X^* : \|f\|\leq 1\}$ en $X^*$ es compacto en la débil* topología (esto es tomado de Folland del Análisis Real, Teorema 5.18).

Prueba Dado un punto de $x\in X$, considerar el conjunto $$D_x=\{z\in\mathbb{C}:|z|\leq\|x\|\}.$$ Tenga en cuenta que $D_x$ es compacto para todo $x$. Deje que $D=\prod_{x\in X}D_x$. Por el teorema de Tychonoff, $D$ es también compacto. Ahora damos un nuevo punto de vista. Es decir, se nota que $D$ coincide con el conjunto de todos los valores complejos de funciones $\phi$ en $X$ (no necesariamente continua) tales que $|\phi(x)|\leq\|x\|$ para todo $x\in X$ y $B^*$ es ahora un subconjunto de $D$ que consta de aquellas funciones que son lineales. Por definición, la débil* topología en $B^*$ es la topología de pointwise convergencia, que es exactamente la topología $B^*$ hereda de $D$. Por lo tanto, a la conclusión de que $B^*$ es compacto (en el débil* topología), es suficiente para mostrar que es un subconjunto cerrado de $D$.

Deje que $\{f_\alpha\}$ una cantidad neta de $B^*$ que converge a $f\in D$. Entonces, para todo $x,y\in X$ y $a,b\in\mathbb{C}$, tenemos $$f(ax+by)=\lim f_\alpha(ax+by)=\lim (af_\alpha(x)+bf_\alpha(y))=af(x)+bf(y),$$ es decir, un límite lineal de los mapas es lineal. Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que $f\in B^*$, y por lo que $B^*$ se cierra en $D$.


La razón por la que me gusta esta es la prueba de que usted tiene que considerar un objeto de dos maneras diferentes, y es la interacción entre los diferentes puntos de vista que le permite probar el resultado. Cuando me enteré de análisis funcional (y todavía estoy aprendiendo), las diferentes topologías de guardado me confunde, y pruebas como esta me permitió entender estos conceptos.

10voto

mona Puntos 38

Estas son pruebas de la existencia de la realización de los diferentes objetos de análisis funcional sin una explícita de la construcción. Creo que son instructivo porque son muy fáciles y mostrar el uso de diferentes estándares de resultados en el análisis funcional.

Definición 1. Una normativa espacio $Y$ se llama la finalización de la normativa espacio $X$ si $Y$ es completa y no existe isométrica operador $j:X\to de$ Y con densa imagen

Teorema 1. Cada normativa de $X$ espacio tiene una finalización.

Prueba. Considerar la segunda doble $X^{**}$ y estándar de la incrustación de $i:X\to X^{**}$. Definir $Y=\overline{\operatorname{Im}\;i}$. Desde $Y$ es un subespacio cerrado de completar el espacio $X^ {**}$ $Y$ es completa. Por el corolario de Hahn-Banach teorema de $i$ es isométrica de ahí su corestriction $$ j:X\to Y:x\mapsto i(x) $$ es isométrica. Por construcción $\operatorname{Im}\;j$ es denso en $Y$. Por lo tanto $$ Y es la culminación de $X$.

También hay una prueba de la existencia de la finalización de las métricas de los espacios.

Definición 2. Un espacio métrico $Y$ se llama la finalización de espacio métrico $X$ si $Y$ es completa y existen isométrica mapa de $j:X\to de$ Y con densa de la imagen.

Teorema 2. Todas las métricas de $X$ espacio tiene una finalización.

Prueba. Considerar el espacio $C_b(X)$ de funciones continuas en el espacio métrico de $X$. Revisión $x_0\in X$ y definir el mapa $$ i:X\to C_b(X):x\mapsto(p\mapsto d_X(x,p)-d_X(x_0,p)) $$ Ya que para todos $p\in X$ tenemos $|i(x)(p)|\leq d_X(x,x_0)$, entonces $i(x)\en C_b(X)$ y $i$ es bien definida. Uno puede fácilmente demostrar que $\Vert i(x")-i(x')\Vert_{C_b(X)}=d_X(x,x')$, entonces $i$ es isométrica. Definir $Y=\overline{\operatorname{Im}\;i}$, entonces $Y$ es completa como subespacio cerrado de un espacio métrico completo $C_b(X)$. Se queda a considerar la corestriction $$ j:X\to Y:x\mapsto i(x) $$ Por construcción $\operatorname{Im}\;j$ es denso en $Y$. Por lo tanto $$ Y es la culminación de $X$.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X