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Es una relación que contiene sólo un par ordenado transitiva?

Necesito una aclaración.

Deje $A=\{1,2,3\}$ a un y $R=\{(1,2)\}$ ser una relación en $A$.

Es una relación Transitiva? Estoy confundido porque algunos libros de texto de decir $R$ es transitiva si contiene sólo un par ordenado.

Yo no soy capaz de explicar por qué $R$ dijo que puede ser transitivo en el caso anterior.

Una relación se dice es transitiva si $(a,b) \in R$$(b,c) \in R$$(a,c) \in R $.

Si P entonces Q.

$P: (a,b) \in R$ $(b,c) \in R$ $Q:(a,c) \in R$

Pero aquí sólo hay una condición de $P$ está satisfecho. Según alguna fuente, si la segunda condición que yo.e, $(b,c) \in R$ no existe, $R$ dijo ser transitivo. Podemos decir $R$ es transitiva? O necesitamos tanto de las condiciones de $P$?

18voto

vadim123 Puntos 54128

El transitiva condición es verdadera vacuously. Eso es como decir que "Todas las mujeres en el coche está en el fuego" es cierto, cuando un hombre está solo en el coche.

13voto

Drew Jolesch Puntos 11

Sí, es una relación transitiva, vacuously . Es decir, no hay ningún contador de ejemplos en la relación que violan la transitividad.

Transitividad requiere que

Si $(P)$: $(i)$ $(a, b) \in R\;$ Y $(ii)$ $(b, c) \in R$, (condiciones)

A CONTINUACIÓN,$(Q)$: se debe seguir ese $(a, c) \in R$ (consecuente)

Desde $(P)$, las condiciones (i) y (ii), nunca ambos se dieron cuenta/satisface, ya que el único elemento en $R$$(1, 2)$, tenemos que la implicación $(P) \implies (Q)$ es vacuously verdadero.

NOTA: podemos de forma equivalente de definir la transitividad como una propiedad que se MANTIENE a MENOS que exista un caso (contraejemplo) para que tanto las condiciones en $(P)$ se cumplen, pero el consecuente $(Q)$ es falso (no se sostiene.)

4voto

jeffamaphone Puntos 31732

R es transitiva en un vacío de sentido, porque en una relación transitiva, queremos que la siguiente $ \forall x,y,z\in A, (x,y)\in R \wedge (y,z)\in R \Rightarrow (x,z)\in R $, pero esto no garantiza la existencia de 3 pares en R. Por simplicidad, vamos a escribir $ \alpha =[(x,y)\in R \wedge (y,z)\in R], \beta =[(x,z)\in R] $. Así que lo que queremos es que el $ \alpha \Rightarrow \beta$, pero si $ \alpha $ tiene un valor de verdad de 0, entonces, de acuerdo a la tabla de verdad de la implicación, a continuación, $ beta$ siempre tendrá un valor de verdad de 1, lo que significa que una relación R es transitiva si $ \alpha$ implica $ \beta $ en R.

Por ejemplo, en este caso, sólo (1,2) está en R (significado $ \alpha $ tiene un valor de verdad de 0, porque no podemos encontrar 2 distintos pares en R), y por lo tanto, $ \beta $ tiene un valor de verdad de 1, por lo tanto, hemos encontrado que la $ \alpha \Rightarrow \beta$, y por lo tanto, R es transitiva.

2voto

John Mee Puntos 12004

Sí, la relación será transitiva, pero para vacuo razones. No hay ningún par $(a,b)$$(b,c)$$R$, por lo que la instrucción $$\forall (a,b),(c,d)\in R (b=c \Rightarrow (a,d)\in R)$$ no en el hecho de sostener.

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