¿Por qué hay sólo un término en el lado derecho de esta regla de la cadena con derivadas parciales?

Question

Sé que si $u=u(s,t)$$s=s(x,y)$$t=t(x,y)$, entonces la regla de la cadena es: $$\begin{align}\color{blue}{\fbox{$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial s}\times \frac{\partial s}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial t}\times \frac{\partial t}{\partial x}$}}\color{#F80}{\tag{A}}\end{align}$$

A short extract from my book tells me that:

Si $u=(x^2+2y)^2 + 4$ $p=x^2 + 2y$ $u=p^2 + 4$ por lo tanto $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial p}\times \frac{\partial p}{\partial x}\tag{1}$$ as $u=u(x,y)$ and $p=p(x,y)$

El libro se menciona ningún origen de la ecuación de $(1)$ y a diferencia de $\color{#F80}{\rm{(A)}}$ es sólo tiene un término en el lado derecho, Así que me gustaría saber cómo se formó. Es $(1)$ simplemente equivalente a $\color{#F80}{\rm{(A)}}$ pero con el último término que falta? O es que hay algo más que eso?

Muchas gracias,

BLAZE.

Answer 1

Más generalmente, si $u(x_1,\ldots,x_n)$ está parcialmente en función derivable la función en $n$ variables e $s_1,\ldots ,s_n$ son diferenciables y $f(t)=u(s_1(t),\ldots,s_n(t))$ $$\frac {df}{dt}=\frac{\partial u}{\partial x_1} \frac {d s_1}{d t}+\ldots +\frac{\partial u}{\partial x_n} \frac {d s_n}{d t}$$ $\color{red}{\text{Your}}$ $\color{red}{\rm(A)}$ $\color{red}{\text{is the special case}}$ $\color{red}{n=2}$ $\color{red}{\text{and}}$ $\color{red}{(1)}$ $\color{red}{\text{is the special case}}$ $\color{red}{n=1}$.

Answer 2

Para expandir un poco Hagen von Eitzen la respuesta y littleO comentario, realmente hay dos funciones diferentes que son ambos el nombre '$u$'. La primera es una función de dos variables, $u:(x,y)\mapsto (x^2+2y)^2+4$, mientras que el segundo es una función de sólo una variable, $u:t\mapsto t^2+4$. Vamos a llamar a la ex $\bar u$ a mantenerlos en orden. También tenemos $p:(x,y)\mapsto x^2+2y$, lo $\bar u=u\circ p$, es decir, $\bar u(x,y)=u(p(x,y))$. Por la regla de la cadena, ${\partial\over\partial x}\bar u={\partial\over\partial x}(u\circ p)=\sum{\partial u\over\partial w_i}{\partial w_i\over\partial x}$, la suma se toma sobre todos los parámetros de $w_i$$u$. En este caso, $u$ es una función de sólo una variable, por lo que esta suma sólo el término, ${\partial u\over\partial p}{\partial p\over\partial x}$. Debido a esto $u$ es una función de sólo una variable, puede ver este escrito como ${du\over dp}{\partial p\over\partial x}$ lugar.

Answer 3

Se trata de la divergencia operador $\nabla$. Deje $f$ ser un escalar con valores de la función, a continuación, $\nabla f \equiv \partial \left\langle \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dots \right\rangle$ vectorizes $f$. Si la imagen $f$ como la altura de una colina y sus parámetros las coordenadas de cada punto de la colina sobre la Tierra, entonces el $\nabla f$ apunta en la dirección de mayor cambio por unidad de distancia en la superficie de la Tierra. Así que en tu ejemplo, $s,t$ son las coordenadas de la superficie de la Tierra. Ahora toma el producto escalar con el vector tangente de una curva en la superficie de la Tierra con parámetros por $x: \langle s(x), t(x) \rangle$. Averiguar lo que significa que mirando en qué punto del producto medio.