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¿Es realmente tan importante el axioma de elección?

De acuerdo a este libro:

El Axioma de Elección es el más polémico axioma en toda la historia de las matemáticas. Sin embargo, sigue siendo un crucial suposición no sólo en la teoría de conjuntos, pero igualmente en la moderna álgebra, el análisis, la lógica matemática, y la topología (a menudo bajo el nombre de el Lema de Zorn).

Yo no soy un conjunto teórico, y no pretendo ser, pero he oído hablar de algunas cosas extrañas que puede suceder con la elección, como la de Banach–Tarski paradoja--paradojas como estos son los que, presumiblemente, ¿por qué el Axioma de Elección fue tan polémica en primera, pero estoy interesado en lo que iba a suceder sin elección.

Pregunta: ¿Qué notables consecuencias podría ocurrir sin el Axioma de Elección?

He encontrado un ejemplo muy interesante aquí en un MO hilo (reproducido aquí para facilitar la):

El universo puede ser muy un lugar extraño, sin elección. Una de las consecuencias del Axioma de Elección es que cuando la partición de un conjunto en disjuntos no vacíos de piezas, el número de las partes no exceda el número de elementos del conjunto que se va a dividir. Este puede fallar sin el Axioma de Elección. De hecho, si todos los conjuntos de reales son Lebesgue medible, entonces es posible partición de $2^{\omega}$ en más de $2^{\omega}$ muchos pares disjuntos no vacíos de conjuntos!

¿Qué otras cosas raras, el resultado sería sin este axioma? Sería un golpe devastador para las matemáticas, o es que realmente no es tan grande de un acuerdo? Yo estoy esperando ejemplos/respuestas orientadas hacia el nivel de pregrado--apropiado para alguien con muy poco de la teoría de conjuntos de fondo.

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DanV Puntos 281

Importancia relativa de la cosa.

Para un científico de la computación, o aplicar un matemático, o un combinatorialist de trabajo con finito de conjuntos, el axioma de elección podría ser la menos importante axioma en matemáticas. Como en casos que involucran sólo a conjuntos finitos no requiere el axioma de elección.

Podemos ver el axioma de elección en ciernes importancia a la hora de llegar a infinito de objetos. El axioma es necesaria para comprobar que los contables de la unión de conjuntos contables son contables, es necesario asegurarse de que cada dos algebraicas cierres de $\Bbb P$ son isomorfos, es necesario asegurarse de que $\Bbb R$ no es el contable de la unión de conjuntos contables, es necesario asegurarse de que cada filtro puede ser extendido a un ultrafilter y como consecuencia de ello nos da Hahn-Banach teorema, el teorema de compacidad de la lógica.

El axioma de elección es necesaria para asegurar que todo espacio vectorial tiene una [Hamel]. Es necesario asegurarse de que cada anillo conmutativo con unidad tiene un ideal maximal. El axioma es necesario para asegurarse de que el cardenal aritmética va como planeado. Que el Lowenheim-Skolem teoremas de espera.

Dondequiera que los conjuntos infinitos jugar un papel, el axioma de elección es necesaria para asegurarse de que la formulación del teorema es simple, y que es relevante para los conjuntos que consideren importante. Conjuntos como el de los números reales, como $\ell_\infty$, establece que son innumerables.

Qué raro resultados que puede suceder sin el axioma de elección? Casi cualquier cosa, si es necesario el axioma de elección, de manera sustancial, lo que significa que puede fallar sin el axioma de elección. Pero no es usual recordatorio de aquí. El fracaso del axioma de elección es tan improductivos como el axioma de sí mismo, y eso significa que simplemente decir que el axioma de elección ha fracasado estrepitosamente, no significa que este fallo ocurre en los conjuntos de interés que el "trabajo matemático", o incluso "el conjunto de trabajo teórico".

Así que permítanme enumerar algunos de los fracasos del axioma de elección, que se producen en el nivel de los números reales, que es lo que realmente parecen pensar que es extraño.

  1. Los números reales pueden ser contables de la unión de conjuntos contables. Esto significa que la mayoría de los análisis se va por la ventana, como la definición habitual de Borel/Lebesgue medidas trivializa. Las cosas pueden ser subsanadas por trabajar con códigos de Borel, pero todo se vuelve mucho más difícil de manejar.

  2. $\Bbb P$ tiene dos no isomorfos algebraica de los cierres. Podemos demostrar que la costumbre algebraicas cierre siempre existe, o al menos siempre hay un canónica algebraicas cierre a $\Bbb Q$. Pero resulta que no puede ser no-canónica, y ellos pueden no ser isomorfos.

  3. Cada ultrafilter en $\Bbb$ N, que es lo principal. Esto significa que las definiciones de uso de ultraproducts y ultralimits (por ejemplo, en la definición de la hyperreal números) no; también significa que $\Bbb R$ no puede ser bien ordenado.

  4. Cada conjunto de reales pueden tener la propiedad de Baire (es equivalente a un conjunto abierto de hasta un exiguo conjunto). Esto podría no parecer mucho, pero en realidad es un gran problema. Esto implica, al menos en la presencia de dependiente de la elección (un fortalecimiento de los contables de la elección), que cada operador lineal entre un espacio de Banach y una normativa espacio es continuo.

    En particular, cada funcional lineal de un espacio de Banach $\Bbb R$ es continua, y cada funcionales de $\Bbb R$ a $\Bbb P$ es continua. Así que los reales no tienen Hamel base de más de $\Bbb P$ y $\ell_2$ es isomorfo a su algebraicas dual, que es sólo su habitual dual topológico. También significa que $(\ell_\infty/c_0)^*=\{0\}$.

  5. Yo sería negligente de mi parte no mencionar el axioma de determinación. Este axioma implica una gran estructura en la tierra de los conjuntos de reales; aunque esta estructura es mucho más compleja y extraña de lo que estamos acostumbrados con el axioma de elección. Implica la capacidad de medición y de otros regularidad de las propiedades de los conjuntos de reales, y su consistencia fuerza es superior a la de todos los mencionados fallos, pero no vamos a entrar en eso.

  6. $\Bbb P$ podría no ser inyectiva (como un grupo abelian). De hecho, la afirmación de que cada divisible grupo es inyectiva implica el axioma de elección. Y que es coherente que no hay inyectiva grupos, en particular $\Bbb P$ podría no ser inyectiva.

  7. Puede haber un infinito Dedekind-subconjunto finito de $\Bbb R$. Esto significa que una gran cantidad de definiciones de salir por la ventana, por ejemplo, la continuidad de las secuencias no es equivalente a la continuidad por $\varepsilon$-$\delta$ cuando se habla de una función continua en $x$. Esto significa que no es un árbol cuyos nodos son los números reales, su altura $\omega$, y es sin máximo de nodos, pero sin infinitas ramas.

  8. Más específicamente a la anterior, podemos establecer que este conjunto no puede estar dotada de una estructura de grupo en su propio, que contradice el teorema (que es equivalente a elegir) que todo conjunto no vacío puede estar dotada de una estructura de grupo.

  9. Es enteramente posible que $\Bbb R$ es la unión de dos conjuntos disjuntos, cada uno de los estrictamente menor cardinalidad. Me escuchó.

Esta lista puede ir en y en y en. Así que vamos a dejar aquí. Y permítanme señalar que hay muchos otros errores que puede suceder que pueden ser de su interés "Matemático Joe", ya que impiden el buen formulación de teoremas.

Ya no es que "cada anillo conmutativo con unidad tiene un máximo ideal", sino "de cada bien solicitar anillo conmutativo con unidad tiene un ideal maximal"; y similares adiciones que nos obligan a restringir a las clases más pequeñas de objetos, y como no podría ser conmutativa anillos que no está disponible, pero todavía tienen la máxima ideales, este teorema no es satisfactorio.

Así es el axioma de elección importante? Para la matemática moderna, que trata con infinidad de objetos, la respuesta es sí. ¿Cómo es importante? Es importante por traer un poco de orden a los conjuntos infinitos y conseguir al menos un poco bajo control.

5voto

DVD Puntos 295

El axioma de elección es necesaria para construir una función f: [0,1] $\rightarrow R$ tales que $ $f(r^n)=f(r) $r\in [0,1] $ y todos los naturales números $n$, que es un contraejemplo para la unicidad de un problema inverso de cuerda vibrante.

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