27 votos

¿Por qué al simplificar una función se obtiene otro límite?

Me preguntan:

$$\lim_{x\to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 + 2x -3}$$

Obviamente esto no se evalúa ya que el denominador es igual a $0$ . La solución es:

$$\lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+3)}$$ $$\lim_{x\to 1} \frac{x^2 + x + 1}{x + 3}$$ $$\frac{1+1+1}{1+3} = \frac{3}{4}$$

Mi pregunta: ¿qué está ocurriendo realmente? ¿Cómo puede la simplificación de una función darle otro límite? ¿Es una función completamente distinta y, si es así, por qué sería relevante para nuestra pregunta original?

0 votos

Buena pregunta elemental +1.

10 votos

Los límites no son diferentes. La primera forma es sólo un límite indeterminado del tipo $\frac00$ Esto significa que se necesita alguna manipulación para obtener el valor de este límite.

11 votos

Esto puede sorprenderte, pero el 0/0 puede hacerse igual a cualquier número. En realidad, no estás cambiando el límite. En cambio, estás limitando el rango infinito que devuelve 0/0 al rango fnito de un único valor real. En esencia, el primer límite que obtuviste simplemente decía "esta expresión podría ser igual a literalmente cualquier cosa". Por eso se llama indeterminado; no tiene valor aparente.

66voto

Paramanand Singh Puntos 13338

Tal vez usted (y creo que muchos principiantes en cálculo) tenga la noción de que el límite de una función se evalúa enchufando el valor de la variable. Así, para la función $$f(x) = \frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 2x - 3}\tag{1}$$ dices que su límite como $x \to 1$ no puede ser evaluada por medio de la inserción de $x = 1$ porque el denominador desaparece.

Es muy importante entender que El límite de una función en un punto es algo completamente diferente del valor de la función en ese punto. Un límite de una función en un punto no tiene nada que ver con el valor de la función en ese punto, pero tiene todo que ver con los valores de la función cerca de ese punto.

Sin embargo, ¡¡hay una trampa!! Hay muchas funciones que se ven comúnmente en el cálculo para las que el límite en un punto resulta ser el mismo que su valor en ese punto y, por lo tanto, para tales funciones es posible evaluar el límite sólo con un tapón. Creo que es este comportamiento de algunas funciones combinado con el hecho que he descrito en el último párrafo lo que crea una confusión total en la mente de un principiante. En una etapa mencioné que el límite no es lo mismo que el valor de una función y luego menciono que para algunas funciones el límite es lo mismo que su valor. Es realmente confuso.

La única manera de resolver esta confusión es aprender a identificar al menos algunos tipos básicos de funciones que tienen esta bonita propiedad de que su límite en un punto es el mismo que su valor en ese punto. Estas funciones se llaman funciones continuas . Utilizando una serie de teoremas sobre los límites se puede demostrar paso a paso que cualquier función compuesta por funciones algebraicas (que incluye los polinomios y las funciones racionales), trigonométricas (directas e inversas), logarítmicas y exponenciales que utilicen un número finito de operaciones aritméticas y composiciones es continua dondequiera que esté definida. El tipo de función descrita en la última frase se llama función elemental .


La función $f(x)$ dada por la ecuación $(1)$ es una función elemental y necesitamos calcular su límite como $x \to 1$ . De lo que hemos mencionado en el último párrafo se desprende que podemos evaluar su límite simplemente por enchufe siempre que esté definido en el punto considerado. El problema es que $f(x)$ no se define en $x = 1$ . Entonces utilizamos el hecho mencionado al principio de que $\lim_{x \to 1}f(x)$ no tiene nada que ver con su valor en $x = 1$ . La operación límite $\lim_{x \to 1}$ garantiza que $x \neq 1$ y ahora podemos utilizar cualquier tipo de transformación en $f(x)$ bajo el supuesto de que $x \neq 1$ y tratar de simplificarlo en forma de una función elemental que quizás esté definida en $x = 1$ .

Aquí tenemos suerte y al cancelar el factor $x - 1$ a partir del numerador y el denominador llegamos a otra función $$g(x) = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 3}\tag{2}$$ Tenga en cuenta que ambos $f$ y $g$ son funciones diferentes ( $f$ no se define en $x = 1$ mientras que $g$ se define allí), pero $f(x) = g(x)$ siempre y cuando $x \neq 1$ . Por lo tanto, en cuanto a la operación límite $\lim_{x \to 1}$ se refiere tanto a $f(x), g(x)$ tienen el mismo comportamiento. Y ahora vemos que $g(x)$ también es una función elemental y está definida en $x = 1$ y por lo tanto su límite como $x \to 1$ es igual a su valor $g(1) = 3/4$ . Así, el límite de $f(x)$ como $x \to 1$ también es $3/4$ .

9 votos

Creo que la tuya es la única respuesta que realmente aborda la confusión y su origen.

5 votos

@user21820: ¡Gracias tío! Por cierto, cuando era principiante en cálculo hace tiempo, incluso los profesores decían que evaluar los límites es fácil: prueba a enchufar, si no funciona intenta transformar la expresión de alguna manera para que el enchufe funcione. En realidad, ese es el método práctico por el que se evalúan los límites paso a paso. Por desgracia, la mayoría de los profesores y libros no mencionan cómo funciona esta técnica y cómo no contradice la definición de límites. He intentado solucionar esto y me alegro de que te haya gustado mi respuesta.

11 votos

Cuando estaba haciendo mi primer curso de cálculo en la universidad, le hice una pregunta trampa a mi profesor: Encuentra $\lim_{x \to 0} \dfrac{|x+1|+|x-1|-2}{|x+1|+|x-1|-2}$ . Su primera reacción (instintiva) fue anularlos y conseguir $1$ . =D

29voto

cr3 Puntos 634

Al simplificar, se elimina la discontinuidad puntual, también llamada apropiadamente discontinuidad removible, en $x = 1$ .

enter image description here

10 votos

Parece que el gráfico no representa correctamente el problema. El punto rojo no corresponde a $(1, 3/4)$ .

2 votos

@ParamanandSingh, arreglado.

3 votos

No creo que esto responda realmente a la pregunta de por qué o cómo.

12voto

chaiwalla Puntos 1132

No es que la función simplificada tenga un límite diferente, es que el límite de la expresión original no se puede encontrar por evaluación. En otras palabras, escribe $$ f(x) = \frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 2x - 3},\qquad g(x) = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 3} = \begin{cases} f(x) & x \neq 1, \\ \frac{3}{4} & x = 1. \end{cases} $$ Desde $g$ es un cociente de polinomios con denominador distinto de cero en $x = 1$ su límite en $1$ se puede encontrar mediante la evaluación. El límite de $f$ en $1$ tiene el mismo valor, ya que $f(x) = g(x)$ para todos $x \neq 1$ .

12voto

Matt Samuel Puntos 22587

Creo que lo importante es entender que el límite no tiene necesariamente nada que ver con el valor real de la función en el punto, o con el hecho de que tenga un valor. Es posible que la función hace tienen un valor cuando introduces el número en la expresión, pero ese sigue sin ser el valor del límite (una función así no sería continua). Cuando haces la división, en realidad estás cambiando la función de una que no tiene valor en el punto a otra que sí lo tiene, y la relación entre las funciones es que el valor de la nueva es igual al límite de ambas.

0 votos

+1 Siempre aprecio una respuesta que sea elocuente, instructiva y que no sacrifique la corrección para conseguirlo.

8voto

Tim Raczkowski Puntos 14043

Considere $$\lim_{x=2}{x^2-4\over x-2}.$$ Lo factorizamos y simplificamos para obtener $${x^2-4\over x-2}=x+2.$$

En una clase de álgebra elemental, pensamos que estas dos expresiones son iguales. Pero no lo son. Ambos lados producirán el mismo valor para cada $x$ excepto $x=2$ . El lado izquierdo es indefinido para $x=2$ mientras que el lado derecho produce $4$ .

Una buena forma de entender el límite es considerar los gráficos. Por supuesto, la gráfica de $y=x+2$ es una línea con pendiente $1$ y $y$ -intercepción $(0,2)$ . Por otro lado, el gráfico de $y=(x^2-4)/(x-2)$ es la misma línea con un agujero en $(2,4)$ .

0 votos

Entonces... ¿el álgebra es todo una mentira? ¿Las dos funciones no son iguales?

0 votos

@jwan Son iguales como expresiones algebraicas pero no como funciones. En general todo lo que involucra a los polinomios sigue siendo válido cuando sustituyes, excepto cuando te da la división por 0.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X