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Por qué no puede el primer número aparecen como la longitud de la hipotenusa en más de un triángulo de Pitágoras?

¿Por qué es que ningún número primo puede aparecer como la longitud de la hipotenusa en más de un triángulo de Pitágoras? En otras palabras, podría alguno de ustedes me dé una prueba algebraica para el siguiente?

Dado el primer número $p$, y las ternas Pitagóricas $(a,b,p)$ $(c,d,p)$ donde$a<b<p$$c<d<p$,$b=d$.

Por favor, también echa un vistazo a la pregunta más profunda: ¿Hay alguna fórmula para calcular el número de diferentes triángulo de Pitágoras con una hipotenusa de longitud $n$, usando su primer descomposición?

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Joe Silverman Puntos 506

Como se señaló en los comentarios y la aceptación de respuesta, esto viene por el hecho de que si un prime $p$ puede ser escrito como suma de dos cuadrados, entonces la representación es única hasta de conmutación y / o la negación de los factores. Un aficionado explicación para esto es el hecho de que $\mathbb Z[i]$ es un director ideal de dominio y su grupo de la unidad de es $\{\pm1,\pm i\}$. (Por supuesto, demostrando que $\mathbb Z[i]$ es un PID requiere de algún tipo de argumento como que en la imagen escaneada de la nota, pero esta es una forma más moderna para pensar en ello.) Una vez que uno sabe que es un PID, a continuación, supongamos que $p=u^2+v^2$. A continuación,$p=(u+iv)(u-iv)$, y el hecho de que $u+iv$ $u-iv$ han norma $p$ muestra que ellos no factor más en $\mathbb Z[i]$. Por lo tanto son irreducibles (es decir, se genera un primer ideales). Así que la única factorización del ideal de la $p\mathbb Z[i]$ es como el producto de la primer ideales $(u+iv)\mathbb Z[i]$$(u-iv)\mathbb Z[i]$. Por lo $u$ $v$ son únicos, hasta la conmutación de ellos o sustituirlos por sus puntos negativos, que corresponde a la multiplicación de $u+iv$ por cada una de las cuatro unidades en $\mathbb Z[i]$.

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Stephan Aßmus Puntos 16

Esto se remonta a Euler, quien demostró que si hay dos formas de escribir un número entero impar $N$ como la suma de dos cuadrados, a continuación, $N$ es compuesto. Hay un artículo del 2009 en este por Brillhart. Permítanme tratar de encontrar un enlace.

http://www.maa.org/press/periodicals/american-mathematical-monthly/american-mathematical-monthly-december-2009

Y si uno nota que en una primitiva triple de la hipotenusa es de la forma $(u^2+v^2)$, y las piernas son de la forma$(u^2-v^2)$$(2uv)$. Así que por euler si la hipotenusa es el primer no pudo ser escrita en diferentes formas.

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