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¿Por qué, intuitivamente, es el orden invertido al tomar la transpuesta del producto?

Es bien sabido que para invertir matrices $A,B$ del mismo tamaño que tenemos $$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} $$ y una buena manera para que me recuerde que este es el siguiente frase:

El opuesto de ponerse los calcetines y los zapatos, es tomar los zapatos, seguido por la toma de las medias.

Ahora, una ley similar se cumple para la transposición, a saber:

$$(AB)^T=B^TA^T $$

para matrices $A,B$ tales que el producto de $AB$ se define. Mi pregunta es: ¿hay alguna razón intuitiva de por qué el orden de los factores se invierte en este caso?

[Nota de que soy consciente de que hay varias pruebas de esta igualdad, y una prueba no es lo que yo busco]

Gracias!

210voto

mdup Puntos 1308

Uno de mi mejor profesor de matemáticas de colegio siempre dijo:

Hacer un primer plano.

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Aunque no han hecho éste en la pizarra.

37voto

Alex Fok Puntos 3204

Por dualizing $AB: V_1\stackrel{B}{\longrightarrow} V_2\stackrel{Un}{\longrightarrow}V_3$ tenemos $(AB)^T: V_3^*\stackrel{A^T}{\longrightarrow}V_2^*\stackrel{B^T}{\longrightarrow}V_1^*$.

Edit: $V^*$ es el espacio dual de $\text{Hom}(V, \mathbb{F})$, el espacio vectorial de las aplicaciones lineales de $V$ a su campo de tierra, y si $a: V_1\a V_2$ es una transformación lineal, entonces $A^T: V_2^*\a V_1^*$ es su doble definido por de $A^T(f)=f\circ$. Por abuso de notación, si $a$ es la representación de la matriz con respecto a las bases $\mathcal{B}_1$ de $V_1$ y $\mathcal{B}_2$ de $V_2$, entonces $A^T$ es la matriz de representación de la doble mapa con respecto a la doble bases $\mathcal{B}_1^*$ y $\mathcal{B}_2^*$.

17voto

Stephen Schrauger Puntos 126

He aquí otro argumento. En primer lugar observamos que si $v$ es un vector columna, a continuación, $(Mv)^T = v^T M^T$. Esto no es difícil de ver - si usted escribe un ejemplo y hacerlo de ambas maneras, verás que son sólo haciendo el mismo cálculo con una notación diferente. Multiplicando el vector columna $v$ a la derecha, por las filas de $M$ es lo mismo que multiplicar el vector fila $v^T$ a la izquierda por las columnas de $M^T$.

Ahora vamos a $( \cdot , \cdot )$ ser el habitual interno del producto en $\mathbb{R}^n$, es decir, el producto escalar. Entonces la transpuesta $N = M^T$ de una matriz $M$ es la matriz única de $$ N con la propiedad

$$(Mu, v) = (u, Nv).$$

Esto es sólo una consecuencia de la asociatividad de la multiplicación de la matriz. El producto escalar de los vectores $u,v$ es dada por el pensamiento de $u,v$ como vectores columna, tomando la transpuesta de a uno y haciendo el producto escalar: $(u,v) = u^T v$.

Entonces $(Mu,v) = (Mu)^T v = (u^T M^T) v = u^T (M^Tv) = (u, M^Tv)$.

Ejercicio: Mostrar la singularidad!

Con esta alternativa de definición que podemos dar a los zapatos y los calcetines argumento. Tenemos

$$( ABu, v) = (Bu,^Tv) = (u, B^TA^Tv)$$

para todos $u,v$, y por lo que $(AB)^T = B^T^T$. El argumento es exactamente el mismo que el de los inversos, excepto que están "en movimiento a través del producto interior" en lugar de "deshacer".

11voto

sewo Puntos 58

Cada elemento de la matriz $AB$ es el producto interior de una fila de $A$, con una columna de $B$.

$(AB)^T$ tiene los mismos elementos que $AB$ a (sólo que en diferentes lugares), por lo que sus elementos deben provenir de una fila de $A$ y una columna de $B$.

Sin embargo, si queremos empezar con $A^T$ y $B^T$, luego una fila de $A$ es la misma cosa como una columna de $A^T$ (y viceversa para $B$ y $B^T$), así que tenemos algo que tiene columnas de $A^T$ y filas de $B^T$. La matriz que tomamos las columnas de siempre es la derecha factor, $a^T$ debe ser el derecho de la factor de la multiplicación.

Del mismo modo, $B^T$ debe ser la izquierda factor porque necesitamos sus filas (que son las columnas de la original de $B$).

7voto

Sergio Puntos 2387

Una matriz es una colección de entradas que pueden ser representados con 2 índices. Cuando nos multiplicar dos matrices, cada una de las resultantes de la entrada es la suma de los productos

$$C_{ik} = \sum_j A_{ij} B_{jk} $$

Fundamentalmente, la de la 'media' índice, $j$, debe ser el mismo para ambas matrices (la primera debe ser tan amplia como la segunda es alto).

Una transposición es sólo una reversión de los índices:

$$A_{ij}^T = A_{ji}$$

Ahora debe ir sin decir que

$$C_{ik}^T = C_{ki} = (\sum_j A_{ij} B_{jk})^T = \sum_j B_{kj} A_{ji}$$

La memoria de acceso directo: la multiplicación de la falla inmediatamente para que no de las matrices cuadradas cuando se olvida a diario durante una transposición.

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