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Cero correlación no implica la independencia

Me acabo de enterar que cuando se habla de variables, si bien la independencia implica cero correlación cero correlación no necesariamente implica independencia. Si bien entiendo el concepto, no puedo imaginar una situación del mundo real con cero correlación que también carecían de independencia. ¿Alguien por favor me puede dar un ejemplo por lo que puedo entender este fenómeno? Gracias de antemano!

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Reto Meier Puntos 55904

Considere el siguiente juego de apuestas.

Voltear una moneda para determinar la cantidad de su apuesta: si los jefes, que apuesta \$1, if tails you bet \$2. Luego, gire de nuevo: si los jefes, usted gana la cantidad de su apuesta, si las colas, se pierde. (Por ejemplo, si le da la vuelta a las cabezas y, a continuación, colas, perder \$1; if you flip tails and then heads you win \$2.) Deje $X$ ser la cantidad que usted apuesta, y deje $Y$ sus ganancias netas (negativo si se pierde).

$X$ $Y$ tienen una correlación cero. Usted puede calcular explícitamente, pero es básicamente el hecho de que usted está jugando un juego justo, no importa cómo mucho usted apuesta. Pero ellos no son independientes; de hecho, si usted sabe $Y$, entonces usted sabe $X$ (si $Y = -2$, por ejemplo, $X$ tiene que ser de 2.) Explícitamente, la probabilidad de que $Y=-2$$1/4$, y la probabilidad de que $X=2$$1/2$, pero la probabilidad de que ambos ocurran es $1/4$, no $1/8$. (De hecho, en este juego, no hay ningún evento con una probabilidad de $1/8$.)

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Tracker1 Puntos 279

Cero correlación no indicará dependencia lineal, sin embargo no captura no linealidad. Típico ejemplo es variable aleatoria uniforme $x,$ y $x^2$ en [-1,1] con media cero. Correlación es cero pero claramente no independiente.

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vizgne Puntos 366

Que $X$ ser cualquier variable aleatoria. Que $P\{I = 1\} = P\{I = -1\} = 1/2$, $I$ $X$ independiente. Que $Y = IX$. (Así, $Y = \pm X$, cada uno con probabilidad $1/2$, independiente del valor de la $X$.) $X$ Y $Y$ son sin correlación pero no independientes. Podríamos reemplazar $I$ por cualquier variable aleatoria de media cero independiente del $X$. [Alguien por favor me podria decir cómo insertar correctamente la ecuación primera?]

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Artem Koshelev Puntos 4983

Voy a dar un geométrica ejemplo que participaron aleatorias de puntos en el plano. Estos vienen en la vida real todo el tiempo si no hay un mecanismo por el cual se distribuyen los puntos. (Por ejemplo, podría ser la ubicación de una casa o algo)

Elegir un punto al azar, $(X,Y)$ en el avión elegido de manera uniforme desde el círculo unidad $x^2 + y^2 = 1$ (con esto quiero decir, la probabilidad de $(X,Y)$ está contenida en un arco del círculo es proporcional a la longitud del arco...también se puede optar por $\theta$ distribuidos de manera uniforme en $[0,2\pi)$ y poner $X=\cos(\theta), Y=\sin (\theta)$)

Ahora, las variables aleatorias $X$ $Y$ no están correlacionados. De hecho, para cualquier valor dado de a $X=x$ siempre hay exactamente dos posibles valores de $Y$ a su medida, es decir,$+\sqrt{1-x^2}$$-\sqrt{1-x^2}$. Estos son igualmente probables por lo que ambos tienen probabilidad de $\frac{1}{2}$. Por lo tanto $E(XY|X=x) = \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}x (-\sqrt{1-x^2})=0$. A partir de aquí, usted debería ser capaz de ver que ellos no están correlacionados.

Sin embargo, estos no son independenet! Hay muchas maneras de ver por qué. Aquí es un "certificado" que muestra que no son independientes. (Aunque esto no es realmente claro hasta la intuición de por qué ellos no son independientes, se tiene que pensar en que uno). Aviso de $P(X>\frac{\sqrt{2}}{2}, Y>\frac{\sqrt{2}}{2})=0$ desde $X^2+Y^2=1$ siempre. Sin embargo, cada una probabilidad de $P(X>\frac{\sqrt{2}}{2})$ $P(Y>\frac{\sqrt{2}}{2})$ son no-cero, de modo que es imposible que $P(X>\frac{\sqrt{2}}{2}, Y>\frac{\sqrt{2}}{2})=P(X>\frac{\sqrt{2}}{2})P(Y>\frac{\sqrt{2}}{2})$

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TooTone Puntos 4212

Tenga en cuenta estas dos variables físicas:

  • Una velocidad aleatoria $V$ de un vehículo a lo largo de una carretera recta entre las ciudades a y B (hacia la B, la velocidad es positiva, mientras que hacia la Una de la velocidad es negativa); y
  • Energía cinética $K = \frac{1}{2}mV^2$ del vehículo donde $m$ es la masa del vehículo.

Digamos que la velocidad de toma valores entre $-50$ $+50$ kilómetros por hora, con igual probabilidad, la velocidad media $0$. Cuando la velocidad es $-50$ energía cinética es $1250m$ y cuando la velocidad es $+50$ de la energía cinética también es $1250m$. Debido a que la media de la velocidad es cero y todas las velocidades son igualmente probables, la correlación es simplemente proporcional a la suma de los productos de la velocidad y la energía cinética (una integral en lugar de una suma, de hecho, debido a que la velocidad es continua). El producto $KV$ al$V=-50$$-62500m$, y el producto $KV$ al$V=50$$62500m$, y estos términos se cancelan uno al otro en la suma. Y porque negativas velocidades se producen tanto como positiva la velocidad, la suma está compuesta de iguales y opuestas por pares, que se cancelan, y la correlación es cero.

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