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Evaluación de la serie infinita $\sum\limits_{n=1}^\infty(\sin\frac1{2n}-\sin\frac1{2n+1})$

He sido aburrido y jugando con series infinitas y encontré en mi libro el siguiente problema, es decir, para determinar la convergencia de:

$$ \sum_{n = 1}^{\infty} \left[\sin\left(1 \over 2n\right) - \sin\left(1 \over 2n + 1\right)\right] $$

Hacerlo era trivial por volver a escribir como un 'simple' suma que involucra el término general $(-1)^k\sin\frac1k$, que es trivial para demostrar la convergencia de como una simple alternancia de la serie. Pero, naturalmente, tenía curiosidad para determinar si hay un medio de que en realidad la evaluación de la serie. Por desgracia, todavía no sé de una técnica para determinar lo que esto converge en términos de más constantes fundamentales de la naturaleza (hace converger a un 'bonito' valor?)

Yo sé de jugar con el de Euler-Maclaurin suma fórmula y jugando con las sumas parciales el valor debe ser algo cerca de $0.290674$. Como $n\to\infty$ conozco la secuencia de términos se comportan más y más parecidos a los de la serie armónica alternante (dado $\sin x\sim x$ para $|x|\ll1$), lo que explica por qué se le da un valor relativamente cerca de $1-\log 2$, pero eso es como lo que yo sé. También he encontrado que la diferencia entre ella y la alternancia serie armónica a partir de $1/2$ es cerca de $0.016179$.

¿Alguien sabe de una forma de evaluar las anteriores de la serie? Permite una buena forma cerrada expresión de su valor? Gracias de antemano.

Debo señalar que yo soy de las matemáticas novato y un estudiante de la escuela secundaria. Mis conocimientos matemáticos sólo abarca sólo lo que se ajusta a la primaria cálculo de una y varias variables y primer año de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Puede ser que un enfoque muy simple existe que estoy totalmente perdido y por eso me siento obligado a pedir disculpas de antemano.

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jammur Puntos589

$$\sum_{n=1}^\infty \sin\left({1\over 2n}\right)-\sin\left({1\over 2n+1}\right)=-\sum_{n=1}^\infty\int_{1\over 2n+1}^{1\over 2n}\cos x\, dx$$

Estas son las integrales de una limitada función de los conjuntos

$$\left[{1\over 2n+1},{1\over 2n}\right]$$

La medida de estos conjuntos es

$${1\over 2n}-{1\over 2n+1}={1\over 2n(2n+1)}$$

Por lo tanto la suma es absolutamente convergente por la desigualdad de Jensen desde

$$\left|\sum_{n=1}^\infty\int_{1\over 2n}^{1\over 2n+1}\cos x\right|\le\sum_{n=1}^\infty\int_{1\over 2n}^{1\over 2n+1}|\cos x|\le\sum_{n=1}^\infty\int_{1\over 2n+1}^{1\over 2n}1\;dx=\sum_{n=1}^\infty {1\over 2n(2n+1)}.$$

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Geoff Robinson Puntos17610

Yo no puedo dar un valor exacto para la suma de la serie, pero tenga en cuenta que el teorema del valor medio nos dice que se puede escribir de la forma $\sum_{n=1}^{\infty} \frac {\cos(\theta_{2n})}{2n(2n+1)}, $ donde cada \theta_{2n $} \in (\frac{1}{2n+1},\frac{1}{2n})$ que parece significar que se diferencia de $ 1 - \log2 = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n(2n+1)} $ por algo cerca de $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1} {} 32 ^ {4}} = \frac{\pi^{4}}{2880}$ (y es menor de esa suma).

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mwomath Puntos504

Recordemos el hecho de que, Si $a_k$ es una secuencia de números reales que converge a $0$, entonces $\sum_{k=1}^{\infty} \left({a_k - a_{k+1}}\right) = a_1$

Prueba.

La utilización de la secuencia de sumas parciales de la serie $\sum_{k=1}^{\infty} \left({a_k - a_{k+1}}\right)$ tenemos $S_n =\sum_{k=1}^{n} \left({a_k - a_{k+1}}\right)$

\begin{align*} S_n &=\sum_{k=1}^{n} \left({a_k - a_{k+1}}\right) \\ &= \left({a_1 - a_{2}}\right) + \left({a_2 - a_{3}}\right) + ...+\left({a_{n-1} - a_{n}}\right)+\left({a_n - a_{n+1}}\right) \\ &= a_1 - a_{n+1} \end{align*} y desde $a_n \to 0$ entonces $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } (a_1 - a_{n+1}) = a_1$.

La aplicación de este hecho para que la secuencia de $a_k:=\sin (\frac{1}{2k})$, obtenemos que
\begin{align*} \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\sin \frac{1}{{2n}} - \sin \frac{1}{{2n + 1}}} \right)} = \sin \left( {\frac{1}{2}} \right) \end{align*}

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