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Diferencia entre "≈", "≃" y "≅"

En notación matemática, ¿cuáles son las diferencias de uso entre los diversos aproximadamente igual firma "≈", "≃", y "≅"?

El estándar Unicode los enumera a todos ellos dentro del Bloque de Operadores Matemáticos.

  • : CASI IGUAL A (U+2248)
  • : ASINTÓTICAMENTE IGUAL A (U+2243)
  • : APROXIMADAMENTE IGUAL A (U+2245)

16voto

jammur Puntos 589

Las anotaciones $\cong$ y $\simeq$ no están totalmente estandarizados. Ambas se usan normalmente para "isomórfico", que significa "el mismo en cualquier contexto en el que estemos". Por ejemplo "geométricamente isomórfico" normalmente significa "congruente", "topológicamente isomórfico" significa "homeomórfico", etc.: significa que de alguna manera son "iguales" para la estructura que estás considerando, en algunos sentidos son "equivalentes", aunque no siempre "iguales": podrías tener dos triángulos congruentes en diferentes lugares de un plano, así que no serían literalmente "iguales" pero sus propiedades intrínsecas son las mismas. He visto a colegas usar ambos para la isomórfica, y algunos (sobre todo los teóricos de la homotropía estable con los que ando) usarán $\cong$ para "homeomórfico" y $\simeq$ para "hasta la equivalencia con la homotropía", pero entonces otros utilizarán los mismos dos símbolos, para los mismos fines, pero invirtiendo cuál obtiene cuál símbolo.

El $\approx$ se utiliza sobre todo en términos de aproximaciones numéricas, lo que significa que los valores de las preguntas están "cerca" unos de otros en cualquier contexto en el que se trabaje, y a menudo es menos preciso exactamente cómo "cerca". Los topólogos también tienen la tendencia a utilizar $\approx$ para la homeomórfica.

La principal conclusión de esta respuesta: la notación no siempre está estandarizada, y es importante asegurarse de que la entiendes en cualquier contexto en el que trabajes.

6voto

guitarphish Puntos 23

$\approx$ se utiliza sobre todo para el valor aproximado (léase: calculado) de una expresión matemática como $\pi \approx 3.14$ En LaTeX se codifica como \approx.

$\cong$ se utiliza para mostrar una congruencia entre dos expresiones matemáticas, que pueden ser geométricas, topológicas, y cuando se utiliza la aritmética del módulo se pueden obtener diferentes números que son congruentes, por ejemplo $5 mod 3 \cong 11 mod 3$ (aunque también se escribe como $\equiv$ ). En LaTeX se codifica como \cong.

$\sim$ es una semejanza en geometría y puede utilizarse para demostrar que dos cosas son asintóticamente iguales (se vuelven más iguales a medida que se aumenta una variable como $n$ ). Esta es una declaración más débil que las otras dos. En LaTeX se codifica como \sim.

$\simeq$ es más bien una bolsa de significado. En LaTeX se codifica como \simeq que significa "similar igual", por lo que puede ser cualquiera de los dos, lo que podría ser apropiado en ciertas situaciones.

4voto

Kaa1el Puntos 1032

≈ es para datos numéricos, homeomorfismo

≃ es para la equivalencia de homotopía

≅ es para el isomorfismo, la congruencia, etc.

Estas son sólo mis propias convenciones.

1voto

kleinfreund Puntos 106

En cuanto a la teoría de la categoría:

El símbolo ≅ se utiliza para el isomorfismo de objetos de una categoría, y en particular para el isomorfismo de categorías (que son objetos de CAT ). El símbolo ≃ se utiliza para la equivalencia de categorías. Al menos, esta es la convención utilizada en este libro y por la mayoría de los teóricos de la categoría, aunque está lejos de ser universal en las matemáticas en general.

(Aviso 1.3.16, Teoría básica de las categorías por Tom Leinster).

1voto

freehacker Puntos 107

En mi trabajo, "=" es la identidad de un número, por lo que establece una equivalencia. 1=1, 2x=10, es decir, x =5.

El signo de aproximación "≈" Yo uso para las aproximaciones decimales con la tilde "~" siendo una aproximación más tosca.

Tilde "~" que uso para afirmar que una forma geométrica es similar a otra, es decir, un triángulo de lados 3/4/5 es similar a un triángulo de lados 30/40/50. Escribo ▲ABC ~ ▲A'B'C' donde ▲A'B'C' es una versión dilatada de la preimagen.

Para una similitud más cercana "≃" podría significar un triángulo casi congruente pero sólo toscamente similar, como dos triángulos 3/4/5 y 3.1/4.1/5.1 mientras que "≅" significa congruente. Los triángulos de la vida real utilizan aproximaciones y tienen errores de redondeo. 3/4 no es igual a 3.1/4.1 pero podrían ser aproximaciones aproximadas para algo ya construido. Como tal, este no es un uso popular y los puristas y rigurosos profesores de matemáticas lo desprecian porque no tienen una forma de usarlo o de definirlo sólidamente. Por eso los profanos o los profesionales del servicio son libres de explorarlo y los académicos prefieren algo más claramente definido a menos que se permitan deformaciones como en mi caso.

El triángulo 3/4/5 es ≅ al triángulo 4/5/3 la diferencia es una rotación que cambia las coordenadas de los ángulos pero preservando el ángulo y la longitud de los lados.

También utilizo el símbolo de definición "≡" para definir las funciones. El caso más simple es f(x) ≡ y. Lo utilizo para declarar una relación para encontrar sumas en lugar de declararla como la suma que estamos derivando, sin embargo se puede utilizar para declarar la equivalencia. Para una cuadrática establecería f(x) a cero pero no definiría f(x) como cero. Utilizo ≡ para todos los casos, no sólo los inmediatos. Poner f(x) a cero crea la equivalencia f(x) = 0 para la coordenada que estás tratando de resolver, pero no es cierto para todas las coordenadas que son solucionables.

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