34 votos

La forma cerrada del uso inadecuado de la integral definida que involucran funciones trigonométricas y exponenciales?

Es posible calcular la siguiente integral definida en una forma cerrada?

$$ \int_0^\infty \left| \sin x \cdot \sin (\pi x) \right| e^{-x} \, dx$$

15voto

CodingBytes Puntos 102

Se podría dar la siguiente una prueba: Desarrollar $|\sen x|$ en una serie de Fourier. Usted obtener $$|\sen x|={2\\pi}-{4\\pi}\sum_{k=1}^\infty {1\over 4k^2 -1}\cos(2kx)\ .$$ Del mismo modo $$|\sin (\pi x)|={2\\pi}-{4\\pi}\sum_{k=1}^\infty {1\over 4k^2 -1}\cos(2\pi kx)\ .$$ Ya que las dos series son absolutamente convergente puede multiplicar ellos, la obtención de una doble serie de la forma $$\sum_{k,l} 2c_{k,l}\cos(2kx)\cos(2\pi l x)=\sum_{k,l} c_{k,l}\bigl(\cos \bigl((2(k+\pi l)x\bigr)+\cos\bigl(2(k-\pi l) x\bigr)\bigr)\ .$$ Ahora, $$\int_0^\infty \cos(q x)e^{-x}\ dx={1\over 1+q^2}\ ;$$ por lo tanto, usted va a terminar con un gran doble de la serie que contiene los términos de la forma $${c\(4k^2-1)(4l^2-1)\bigl(1+4(k\pm \pi l)^2\bigr)}\ .$$ Te deseo suerte$\ldots$

4voto

staticsan Puntos 14435

Deje que $f(x) = e^{-x} \sin(x)\sin(\pi x)$

Deje que $A=\{x : e^{-x}sin(x)\sin(\pi x) > 0\}$
Deje que $B=\{x : e^{-x}sin(x)\sin(\pi x) < 0\}$

A y B son distintos y por lo tanto $\int_{0}^{\infty}f(x)=\int_A f \,du + \int_B f\,du$

Rango de $f(x)=0$ $\kappa =\max(f(x))$

Dividir el rango de $f(x)$ en n intervalos, $n\rightarrow \infty$ que

$\displaystyle \int_A f \,du = \lim_{n\to\infty} \sum_{j=1}^{n} \left (\left(j+1\right)\frac{\kappa }{n}-j\frac{\kappa }{n} \right ) \int I_{A_j}$

$\displaystyle \int_B f \,du = \lim_{n\to\infty} \sum_{j=1}^{n} \left (\left(j+1\right)\frac{\kappa }{n}-j\frac{\kappa }{n} \right ) \int I_{B_j}$

$\displaystyle \int_{A+B} f \,du = \lim_{n\to\infty} \frac{\kappa }{n} \sum_{j=1}^{n} \int I_{A_j} + I_{B_j}$

$\displaystyle A_j =\left (\frac{j\kappa }{n} < f(x) < \frac{(j+1)\kappa }{n} \right )$
$\displaystyle B_j =\left (\frac{j\kappa }{n} < -f(x) < \frac{(j+1)\kappa }{n} \right )$

$\displaystyle h(a,x,b) = \begin{casos} 1 &\text{si } |a| < |x| < |b|, \\ 0 &\text{si } de lo contrario. \end{casos} $

$\displaystyle I_{A_j} =\frac{1}{2}h\left(j\frac{\kappa }{n},f(x),\left(j+1\right)\frac{\kappa }{n} \right ) \left(1 + \frac{\left|f(x)\right|}{f(x)}\right)$

$\displaystyle I_{B_j} =\frac{1}{2}h\left(-1\left(j+1\right)\frac{\kappa }{n},-f(x),-j\frac{\kappa }{n} \right ) \left(1 - \frac{\left|f(x)\right|}{f(x)}\right)$

trabajando en ello.

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