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Dividiendo un triángulo equilátero en N partes iguales (posiblemente no conectadas)

Es fácil dividir un triángulo equilátero en $n^2$ , $2n^2$ , $3n^2$ o $6n^2$ triángulos iguales.

¿Pero puedes dividir un triángulo equilátero en 5 partes congruentes? Recientemente M. Patrakeev encontró una manera impresionante de hacerlo - ver la imagen de abajo (note que las partes no están conectadas - pero de hecho son congruentes, no sólo tienen la misma área). Así que un triángulo equilátero también puede ser dividido en $5n^2$ y $10n^2$ partes congruentes.

Pregunta. ¿Hay alguna otra forma de dividir un triángulo equilátero en partes congruentes? (Por ejemplo, ¿puede ser dividido en 7 partes congruentes?) O en la dirección opuesta: ¿puedes probar que un triángulo equilátero no puede ser dividido en $N$ partes congruentes para algunos $N$ ?



(Naturalmente, he tratado de encontrar algo en el espíritu del ejemplo anterior durante algún tiempo - pero sin éxito. Tal vez alguien pueda encontrar un ejemplo usando la búsqueda por computadora )

Preferiría usar uniones finitas de polígonos como "partes" y permitir que las diferentes partes tengan puntos límite comunes. Pero si tienes un ejemplo con "partes" más generales, eso también sería interesante.

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Jonesinator Puntos 1793

Recientemente, Pavel Guzenko encontró la manera de dividir un triángulo equilátero en 15 partes congruentes (y también en 30 partes congruentes).

dissection

5voto

Jonesinator Puntos 1793

En un preimpreso reciente https://arxiv.org/abs/1812.07014 M.Beeson muestra cómo dividir un triángulo equilátero en $15×3^6=10935$ triángulos iguales (con lados 3, 5, 7 y un ángulo igual a $2\pi/3$ ).

10935 triangles

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RavenclawPrefect Puntos 121

En este hilo de MathOverflow Hay disecciones con $5n^2$ piezas para todos $n\ge 6$ donde las piezas son cuadriláteros simplemente conectados. El más pequeño de ellos está representado aquí:

                                                    enter image description here

En el hilo, se menciona que Michael Reid afirma haber encontrado una disección simplemente conectada utilizando $7n^2$ trapezoides para algunos $n$ pero el resultado no parece estar publicado en ningún sitio.

En el caso de que las baldosas sean triángulos, el papel de 1995 Tilings de triángulos de M. Laczkovich tiene muchos resultados importantes. En particular, afirma que existe una disección de un triángulo equilátero en $2469600=2^5\cdot3^2\cdot5^2\cdot 7^3$ triángulos con longitudes de lado $7, 8,$ y $13$ .

En general, el teorema 3.3 del documento dice

Dejemos que $x$ y $y$ sean números enteros no nulos tales que $x+2y\neq 0\neq y+2x$ . Entonces hay un número entero positivo $k$ de tal manera que el triángulo equilátero se puede diseccionar en $n=|xy(x+2y)(y+2x)k^2|$ triángulos congruentes.

Así se obtienen disecciones con un número de triángulos cuya parte libre de cuadrados es cualquiera de $ 5, 6, 10, 13, 14, 15, 21, 30, 35, 39, 55, 65, 66, 70, 85, 95, 105, 119, 130,\ldots$

-1voto

Logan Hodgson Puntos 81

Como el triángulo equilátero tiene tres ejes de simetría, los triángulos equiláteros congruentes pueden dividirse en un número cuadrado de formas, multiplicado por $1, 2,$ o $3$ Así que $6$ también funciona.

Cualquier triángulo equilátero puede dividirse en $n^2$ triángulos subequiláteros, Primero, necesitamos encontrar un número cuadrado que sea divisible por $n$ . Como se ve en la imagen que has puesto arriba, cada fila del triángulo añade el siguiente número impar de triángulos: $1,3,5,7,9...$ Este es el patrón utilizado por los números cuadrados: $1=1||1+3=4||4+5=9||9+7=16||16+9=25...$ Por ello, cualquier triángulo equilátero puede dividirse en $n^2$ formas iguales.

Debido a los tres ejes de simetría, cualquier triángulo equilátero puede dividirse en $2,3,$ o $6$ formas, como se ve en la imagen de abajo.

Equilateral triangle in 6 shapes

Si combinamos estas dos posibilidades, podemos obtener un triángulo equilátero en $n^2,2n^2,3n^2,$ o $6n^2$ formas. No son posibles otras formas debido a estas dos leyes.

Por lo tanto, podemos sólo dividir un triángulo equilátero en $n=2,3,4,6,8,9,12,16,18,20,24,25,etc...$ formas congruentes. Sin embargo, como en el ejemplo que has dado, dividir un triángulo en partes congruentes separadas sí es posible.

-2voto

Norris Green Puntos 61

Supongo que debe haber alguna forma de hacer esto con infinitesimales. Básicamente, piensa en esto como una suma de Riemann. El triángulo equilátero comienza con la esquina inferior izquierda en el origen como se muestra. enter image description here

Luego hago una suma de riemann a la derecha con subdivisiones "a". Luego hago la Nª subdivisión una parte de cada uno de los N trozos no conectados del triángulo. A continuación se muestra un ejemplo para "a"= 10 y N = 2 enter image description here

Como puede ver, cuanto más aumenta "a", más se acerca el naranja al azul.

Así que si encuentras el límite a medida que "a" se acerca al infinito, obtienes la forma perfecta del triángulo y, para N = 2, las dos piezas (naranja y azul) son congruentes.

Esto funciona para N cualquier número real, podrías hacer cada 3ª columna para N = 3 y así sucesivamente. Siempre que "a" sea infinito y no 10. enter image description here

Así que, básicamente, al final, acabas con N "densidades" congruentes, no con N formas realmente congruentes. Pero es lo mejor que se me ocurre :)

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