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Dividiendo un triángulo equilátero en N partes iguales (posiblemente no conectadas)

Es fácil dividir un triángulo equilátero en $n^2$ , $2n^2$ , $3n^2$ o $6n^2$ triángulos iguales.

¿Pero puedes dividir un triángulo equilátero en 5 partes congruentes? Recientemente M. Patrakeev encontró una manera impresionante de hacerlo - ver la imagen de abajo (note que las partes no están conectadas - pero de hecho son congruentes, no sólo tienen la misma área). Así que un triángulo equilátero también puede ser dividido en $5n^2$ y $10n^2$ partes congruentes.

Pregunta. ¿Hay alguna otra forma de dividir un triángulo equilátero en partes congruentes? (Por ejemplo, ¿puede ser dividido en 7 partes congruentes?) O en la dirección opuesta: ¿puedes probar que un triángulo equilátero no puede ser dividido en $N$ partes congruentes para algunos $N$ ?



(Naturalmente, he tratado de encontrar algo en el espíritu del ejemplo anterior durante algún tiempo - pero sin éxito. Tal vez alguien pueda encontrar un ejemplo usando la búsqueda por computadora )

Preferiría usar uniones finitas de polígonos como "partes" y permitir que las diferentes partes tengan puntos límite comunes. Pero si tienes un ejemplo con "partes" más generales, eso también sería interesante.

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Logan Hodgson Puntos 81

Como el triángulo equilátero tiene tres ejes de simetría, los triángulos equiláteros congruentes pueden dividirse en un número cuadrado de formas, multiplicado por $1, 2,$ o $3$ Así que $6$ también funciona.

Cualquier triángulo equilátero puede dividirse en $n^2$ triángulos subequiláteros, Primero, necesitamos encontrar un número cuadrado que sea divisible por $n$ . Como se ve en la imagen que has puesto arriba, cada fila del triángulo añade el siguiente número impar de triángulos: $1,3,5,7,9...$ Este es el patrón utilizado por los números cuadrados: $1=1||1+3=4||4+5=9||9+7=16||16+9=25...$ Por ello, cualquier triángulo equilátero puede dividirse en $n^2$ formas iguales.

Debido a los tres ejes de simetría, cualquier triángulo equilátero puede dividirse en $2,3,$ o $6$ formas, como se ve en la imagen de abajo.

Equilateral triangle in 6 shapes

Si combinamos estas dos posibilidades, podemos obtener un triángulo equilátero en $n^2,2n^2,3n^2,$ o $6n^2$ formas. No son posibles otras formas debido a estas dos leyes.

Por lo tanto, podemos sólo dividir un triángulo equilátero en $n=2,3,4,6,8,9,12,16,18,20,24,25,etc...$ formas congruentes. Sin embargo, como en el ejemplo que has dado, dividir un triángulo en partes congruentes separadas sí es posible.

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