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¿Qué es Chern-Simons teoría?

¿Qué es Chern-Simons teoría? He leído la wikipedia entrada, pero es bastante física-y y yo no era capaz de conseguir cualquier sentido de lo que Chern-Simons teoría está realmente en términos de las matemáticas.

Chern-Simons teoría se supone que es algún tipo de TQFT. Pero, ¿qué tipo de TQFT exactamente? Cuando los matemáticos dicen que es un TQFT, ¿significa esto que es un cierto tipo de functor a partir de un cierto bordism categoría a una cierta categoría de destino? Si es así, ¿qué tipo de functor es? ¿Qué tipo de bordism categoría es? ¿Qué tipo de categoría de destino es? ¿Cómo exactamente es el functor definido?

Además, de asistir a charlas de Michael Freeman, sé que Chern-Simons teoría se supone que para describir algunos aspectos de las fracciones de efecto Hall cuántico. ¿Cómo funciona esto? ¿Cómo debo tomar algún tipo de Chern-Simons cálculo en una de 3(o 4?)colector y el extracto de que algún tipo de predicción sobre algunos 2d gas de electrones? También he oído que Witten ha interpretted varios nudo invariantes como el polinomio de Jones en términos de Chern-Simons teoría. Así que esto significa que el polinomio de Jones de un nudo tiene una interpretación física? Si es así, ¿qué es?

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orange Puntos 106

No estoy seguro de que yo estoy diciendo nada que no esté en nLab, pero permítame una vista de pájaro. Una teoría cuántica es "sobre todo" por una acción, y el CS de la teoría en $2+1$ dimensiones con el grupo $G$ ha como la acción de Chern-Simons funcional (que viene desde el límite de términos de características de clases) en el espacio de las conexiones de unos $3$ colector. Hay un parámetro, y se obtiene una bien definida la teoría cuando el parámetro es una raíz de la unidad. Debido a que esta teoría no requiere de fondo métrica o de otra geometría para definir, realizar los cálculos en la teoría, en principio, ser invariantes topológicos del colector (la vida se vuelve complicada en los detalles, pero casi todo lo que tengo para agregar es que este extra biframing info para hacer que corregir). Ya que las partículas son aproximadamente las representaciones, una secuencia de partículas que interactúan y se mueve alrededor de la otra en el espacio (un $2$-colector de aquí) como una película traza vinculado bucles marcadas por las representaciones en el espacio-tiempo ($3$-colector). La expectativa de valor de esta secuencia de interacciones (aproximadamente la probabilidad de ocurrencia) es el valor del polinomio de Jones en la que el valor de $q$ (Aquellos que han tratado de hacer que las diferentes normalizaciones de los parámetros de la física y las matemáticas de la literatura alinear han vuelto locos: no intente esto en casa! Es bastante misterioso por qué estos valores se combinan para un polinomio). El valor de la función de partición para un corriente de colector (que técnicamente no debería tener significado físico, como se supone que para dividir a cabo por él, sino que le está diciendo algo sobre el tiempo-evolución del operador, la cual es constante porque es topológicamente invariante).

Todo que debe es debido a la forma natural de construir una teoría de la acción es la ruta integral, que es una nonrigorous heurística. La matemática de la respuesta a esto es, en este caso, axiomático TQFT. Heurística de razonamiento sostiene que los bloques de construcción básicos de la teoría debe tener ciertas propiedades que deben únicamente especificar ellos, y entonces usted puede construir explícitamente tales objetos, por ejemplo, de los grupos cuánticos (NO sé cómo conseguir el quantum mismos grupos de la física) y demostrar que satisfacen las propiedades necesarias. A partir de estos se pueden calcular las funciones de partición y a las expectativas de sus corazones delicia.

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Jon Galloway Puntos 320

Algunas buenas referencias de los documentos por Dan Liberado y el libro de La geometría y de la física de nudos por Michael Atiyah. Pero por lejos, la mejor respuesta a tu pregunta está en Witten papel de la "teoría del campo Cuántico y el polinomio de Jones", Comunicación en la Física Matemática, 1989 vol. 121 (3) p 351-399, MR0990772.

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Chad Cooper Puntos 131

Has leído el nLab entrada? Que podría responder algunas de sus preguntas.

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TY1 Puntos 71

Yo no sé acerca de los matemáticos, pero cuando el físico decir que es un TQFT, que sólo significa que la teoría no depende de la métrica de la elección. Usted puede ver fácilmente que la Chern-Simons acción es la métrica libre. Por lo tanto, es un TQFT.

Acerca de su efecto hall cuántico fraccionario pregunta, usted puede mirar en la Zee de la "Teoría Cuántica de campos en una cáscara de Nuez", Parte VI - la Teoría del Campo y de la Materia Condensada. Es una buena introducción.

Sobre la última pregunta, Witten mostró que Wilson lazo expectativa de valores de Chern-Simons teoría son dadas por el enlace de polinomios invariantes. En materia condensada la teoría de campo, Wilson bucle está relacionada con la conductividad. Así, que es como enlace invariantes están relacionados con la física observables. Hay un par de buenos libros sobre estos temas. Recomiendo Altland & Simons "de la materia Condensada, la teoría de campo" y Fradkin del "Campo de las Teorías de la Física de la Materia Condensada".

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