El centro de la circunferencia se encuentra en un lado de un triángulo

Question

Considere un triángulo $ABC$ . Sea la bisectriz del ángulo $A$ sea $AP,P\in BC$ . $BP=16,CP=20$ y el centro de la circunferencia de $\triangle ABP$ se encuentra en el segmento $AC$ . Encuentre $AB$ .

$$AB=\dfrac{144\sqrt5}{5}$$

Por el Teorema del Triángulo-Angulo-Bisector $$\dfrac{BP}{PC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{16}{20}=\dfrac{4}{5}\\ \Rightarrow AB=4x, AC=5x.$$ La regla del coseno en $ABC$ da $$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos\alpha \\ \iff 1296=41x^2-40x^2\cos\alpha,$$ donde $\measuredangle A=\alpha.$ ¿Algo de esto es útil para la solución? Se agradece cualquier ayuda. Gracias de antemano.

Answer 1

Observe que $\angle OPA=\angle PAO=\frac\alpha2=\angle BAP\implies OP\parallel AB$ . Así, $$\frac{CO}{OA}=\frac{CP}{PB}\iff \frac dR=\frac{20}{16}=\frac54$$ Además, la potencia de un punto produce $$\begin{align*}\text{Pow}(C)_{(APB)}=\lvert d^2-R^2\rvert&=20\cdot 36\\\iff \left\lvert\left(\frac54R\right)^2-R^2\right\rvert&=720\\\iff \frac9{16}R^2&=720\\\iff R&= 16\sqrt{5} \end{align*}$$ Utilice $OP\parallel AB$ de nuevo para inferir

$$AB=R\cdot \frac{36}{20}=16\sqrt5\cdot \frac95=\frac{144\sqrt5}{5}$$

Answer 2

$\angle POC = \angle A$ Así que $\triangle COP \sim \triangle CAB$

Por lo tanto, $\frac{R}{AB} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$ ...(i)

$\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB = 90^0 - \angle A$

$AB = 2R \sin \angle APB = 2R \cos A$

Así que desde (i), $\frac{R}{2R \cos A} = \frac{5}{9}$

$\cos A = \frac{9}{10} = 1 - 2 \sin^2{\frac{A}{2}} \implies \sin \frac{A}{2} = \frac{1}{2\sqrt5} $

$16 = 2R \sin \frac{A}{2} \implies R = 16\sqrt5 $

$AB = 2R \cos A = 32\sqrt5 \times \frac{9}{10} = \frac{144}{\sqrt5}$

Answer 3

Solución alternativa sin utilizar la trigonometría ni la potencia de un punto:

Ya te has dado cuenta de que $OP \parallel AB$ Así que dibuja dos líneas perpendiculares $OQ$ y $BR$ .

Que los radios $OA = OB = OP = 10x$ .

Desde $\triangle ABC \sim \triangle OPC$ tenemos $AB = \frac{20+16}{20} \cdot OP = 18x$ Así que $AQ = BQ = 9x$ .

Por lo tanto, $OQ = \sqrt{OA^2 - AQ^2} = \sqrt{19} x$ Así que $BR = \sqrt{19} x$ .

$RP = OP - OR = 10x - 9x = x$ .

$BP = \sqrt{BR^2 + RP^2} = 2 \sqrt{5} x$ .

Dado que $BP = 16$ concluimos que $x = \frac{16}{2\sqrt{5}} = \frac85 \sqrt{5}$ .

Finalmente, $AB = 18 \cdot \frac85 \sqrt{5} = \frac{144}{5} \sqrt{5}$ .