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Análisis complejo es más "real" de análisis real

En la física, en el pasado, los números complejos se utilizan solamente para recordar o simplificar fórmulas y cálculos. Pero después del nacimiento de la física cuántica, encontraron que una cosa tan real como la "materia" en sí tenía que ser descrita por el complejo de las funciones de onda y no hay manera de describirlo utilizando sólo los números reales.

En matemáticas, en el análisis real, hay ejemplos como el de la función $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$, y por qué esta función no tiene el "smoothtness" de la función exponencial, polinomios, funciones seno y coseno funciones, ¿por qué tiene un radio de convergencia es igual a 1 a pesar del hecho de que esta función es infinitamente diferenciable. Usted no puede ver la realidad de esta función hasta que usted lo ve a través del campo de análisis complejo, donde se puede observar que $f$ no es fácil porque tiene 2 singularidades en el plano complejo.

Sólo estoy pidiendo ejemplos como este tal, que cuando la ves en el estrecho "ventana" de análisis real, usted no puede ver la "realidad" hasta la vista desde la ventana de análisis complejo. Estoy empezando a auto aprender de análisis complejo y me parece más natural que el análisis real y le dice la "verdad" detrás de un montón de cosas.

26voto

Conifold Puntos 5163

No todos los grado real de $n$ polinomios tienen $$ n raíces (contando multiplicidad) debido a que algunas de las raíces son complejas. En el dominio real de una matriz puede tener valores propios, por ejemplo, 2-dimensional de la matriz de rotación, pero real de la matriz tiene un autovalor complejo. Estas son manifestaciones de $\mathbb{C}$ a diferencia de $\mathbb{R}$ se algebraicamente cerrado, es decir, cada ecuación polinómica tener una solución. En el dominio real de $\sqrt{x}$ y $\ln{x}$ se definen únicamente para positivo de $x$, porque para el negativo de $x$ $ $ el valor es un número complejo, y no es la única.

En el dominio real de los exponentes y funciones trigonométricas son funciones completamente diferentes, pero en el complejo de dominio que están relacionados por el simple fórmulas de Euler. Lo mismo va para los logaritmos y funciones trigonométricas inversas. Esta es la razón principal por la que las identidades de las funciones hiperbólicas son casi las mismas familiar identidades trigonométricas. Muchos de integrales definidas de funciones que no tienen primaria antiderivatives puede ser calculado en primaria términos mediante la ampliación de la ruta de integración en el plano complejo y el uso de los residuos, por ejemplo, $\int_0^\infty\frac{\ln x}{(1+x^2)^2}\,dx=-\frac{\pi}{4}$. De manera más general, integral y series de representaciones de muchas funciones reales, que pueden ser convertidas en cada uno de los otros debido a que estas funciones se extienden en el plano complejo y las integrales de contorno no se reducen a sumas de residuos. La Riemann zeta función es un típico beneficiario. Estos se manifiestan otra ventaja de complejo análisis más real. Muchos de los que comúnmente se utilizan funciones reales se extienden a holomorphic funciones en el plano complejo, y para holomorphic funciones de cálculo herramientas son mucho más fuertes que para las lisas, que es lo real de análisis en su mayoría, los trata como.

En el dominio real de elipses e hipérbolas son los diferentes tipos de curvas, pero en el plano complejo están relacionados por una rotación de los ejes, es decir que el 'mismo' (más precisamente, estamos buscando dos proyecciones diferentes de la misma curva compleja). En una manera similar esférica y geometrías hiperbólicas están relacionados por un complejo de rotación. La ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica y la ecuación del calor de la física clásica también están relacionadas por un complejo de rotación de la llama de la Mecha de rotación. Ruta integral de la interpretación de la mecánica cuántica soluciones puede ser hecho preciso el uso de esta relación y la de Feynman–Kac fórmula.

Heaviside desarrollado operativa de cálculo para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes mediante el tratamiento de tiempo de derivada como una 'variable' $p$ y escribir las soluciones en términos de lo simbólico "funciones" de la misma. Resultó que la magia funcionó porque los $p$ es en realidad un complejo de variables, y Heaviside simbólica de las soluciones se puede convertir en reales tomando la transformada inversa de Laplace, que es una integral de contorno en el plano complejo.

Armónica de funciones, las soluciones a la ecuación de Laplace, tiene muchas buenas propiedades analíticas como ser sumas de convergentes de alimentación de la serie, la consecución de los extremos en el límite de sus dominios, siendo iguales en cualquier punto a la media de los valores en cualquier círculo centrado, etc. La razón subyacente es que la armónica de funciones son exactamente las partes real e imaginaria de holomorphic funciones. Si el potencial de un campo vectorial es una función armónica $\varphi$, a continuación, sus líneas de flujo son las curvas de nivel de la otra armónico de la función $\psi$, exactamente el que hace que $\varphi+i\psi$ holomorphic. Solución fórmulas para las fronteras problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace en algunos dominios especiales son reflejos de la integral de Cauchy fomula para holomorphic funciones que funciona en cualquier dominio.

15voto

TrialAndError Puntos 25444

Un notable ejemplo de lo Complejo que el Análisis revela que algo profundo acerca de la Física se encuentra en la Teoría Espectral. Hay un tipo de ley de la conservación de donde todas las singularidades en el plano finito están relacionados con las propiedades de la singularidad en $\infty$. Por ejemplo, si tiene una función que es holomorphic con un número finito de polos en el plano complejo, entonces la suma de los residuos puede ser calculada por mirar el residuo en $\infty$. Extensiones de estas ideas permiten probar la integridad de las funciones propias de un operador de $Un$ mediante la sustitución de las integrales en torno a las singularidades de $(\lambda -A)^{-1}$ con un residuo en $\infty$ calcula como $\lim_{\lambda\rightarrow\infty}\lambda(\lambda-A)^{-1}=I$.

Por ejemplo, si $a=\frac{1}{i}\frac{d}{dt}$ en $L^{2}[0,2\pi]$, en el dominio de $\mathcal{D}$ que consta de periódico absolutamente funciones continuas de $f$, entonces $(\lambda -A)^{-1}$ es definido en todas partes excepto en $\lambda = 0,\pm 1,\2 pm,\pm 3,\cdots$, donde ha simple polos con los residuos $$ R_{n}f = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(\theta')e^{- \theta'}\,d\theta e^{\theta}. $$ Estos residuos son proyecciones sobre los subespacios propios asociados a los valores de $\lambda$ donde $(\lambda I-A)^{-1}$ es singular. Aunque el argumento es muy delicado, nadie puede reemplazar a la suma de todos estos residuos con un residuo en $\infty$ evaluado como $\lim_{v\rightarrow\pm\infty}(u+iv)(u+iv-A)^{-1}f=f$, lo que conduce a una prueba de la $L^{2}$ de convergencia de la Serie de Fourier para una arbitraria $f \in L^{2}[0,2\pi]$: $$ f = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(\theta')e^{- \theta'}\,d\theta' e^{\theta}. $$ Este tipo de argumento puede ser utilizado para probar la convergencia de la transformada de Fourier de tipo transforma mezclado con discretos funciones propias, también. Y, estos argumentos donde las singularidades de la resolvent en el plano finito se comercializan para un único residuo en $\infty$ puede dar pointwise convergencia de los resultados que van más allá del Análisis Funcional y $L^{2}$ de la teoría.

Tales métodos de lazo a la perfección con la forma de Dirac visto un observable como una especie de número compuesto con un montón de posibles valores determinados a partir de las singularidades de $\frac{1}{\lambda -A}$, que luego se utiliza para generalizar la integral de Cauchy fórmula $$ p(a)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C} p(\lambda)\frac{1}{\lambda}\,d\lambda. $$ En esta extraña configuración de Análisis Complejo, los resultados de Quantum autovector de expansión son convincentes, y casi natural, aunque las pruebas no son tan sencillas.

9voto

alumb Puntos 2586

Si una función es analítica en la mitad superior del plano y se va a cero lo suficientemente rápido en el infinito, a continuación, la de Kramers-Kronig relaciones. Así que si $x\rightarrow f(x)=f_1(x)+if_2(x)$ es nuestra función, entonces

$$f_1(x)=\frac{1}{\pi}\cal{P}\int_{-\infty}^\infty\frac{f_2(x')}{x'-x}dx'$$ y $$f_2(x)=-\frac{1}{\pi}\cal{P}\int_{-\infty}^\infty\frac{f_1(x')}{x'-x}dx'$$

así que usted puede calcular la parte real de $f$ de su parte imaginaria, y viceversa.

En la física de la respuesta al impulso de un sistema físico con frecuencia satisface las condiciones para que las relaciones a mantener. Por ejemplo, en la óptica de la parte real de la respuesta de impulso está relacionado con el índice de refracción y la parte imaginaria es la relativa a la atenuación. De esta forma es posible calcular el índice de refracción en diversas frecuencias sólo desde el conocimiento de la atenuación en frecuencias diferentes. Es casi mágico que estas cosas están conectadas de manera directa en esta manera, pero es difícil de ver si no vas complejo.

Otros ejemplos incluyen la forma en que los ingenieros de audio puede leer en el retraso de fase de un componente (modulo ciertas condiciones) a partir de sus gráficas de Bode y fenómenos similares en el estudio de la oscilación de los sistemas mecánicos y en la física de partículas.

8voto

Dennis Puntos 9534

Un ejemplo es el de dos dimensiones de la electrostática. El potencial en el dominio $D$ sin cargas eléctricas satisface la ecuación de Laplace $\varphi_{xx}+\varphi_{yy}=0$. Desde el 'real' punto de vista, sus soluciones para

  • dos infinito uniformemente cargada aviones

  • dos infinito coaxial uniformemente cargada cilindros

no tienen nada que ver uno con otro. Sin embargo, desde el 'complejo' punto de vista de uno se obtiene del otro por la conformación de transformación $w(z)=e^z$, el cual se asigna la franja $a<\Re z<b$ en el anillo $ e^a<|z|<e^b$.

6voto

Marm Puntos 3861

Hay algunas muy bonitas teoremas que son relativamente fáciles de demostrar y que sólo se mantenga en el análisis complejo. Por ejemplo:

  • El complejo de la diferenciabilidad: Si una función es compleja diferenciable de una vez y la derivada es continua, entonces es infinitamente diferenciable. Claramente no es cierto en el análisis real.

  • El poder de la serie: No sólo son infinitamente diferenciable, pero uno puede expandirse localmente en una convergente de alimentación de la serie, es decir, son analíticos. Que falla completamente en el análisis real, hay infinitamente diferenciable funciones que no están nada analítica.

  • De Cauchy de la Integral Fórmula: Los valores de una función holomorphic en un dominio y continua hasta su límite depende sólo de sus valores en la frontera, y puede ser recuperado de forma explícita por una sola integración. Esto puede ser usado para resolver problemas de valor de frontera para la ecuación de Laplace.

  • Liouville del teorema: Si una función es diferenciable y limitado en $\mathbb C$, entonces es constante. Un muy fuerte de la propiedad, en mi opinión, pero una fácil corolario de la Integral de Cauchy Fórmula. Y una herramienta útil para demostrar otros teoremas, da posiblemente la más sencilla prueba del Teorema Fundamental del Álgebra.

  • Máximo Módulo de Principio: El valor absoluto de una función de holomorphic en un dominio alcanza su máximo en el límite. Lo que nos da una manera fácil de encontrar a priori de los límites para la holomorphic funciones o demostrar que son constantes, entre otras cosas.

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