36 votos

qué significa el símbolo ∇ (triángulo invertido) en este problema

Dado $f(x) = \frac{1}{2}x^TAx + b^Tx + \alpha $

donde A es una matriz simétrica nxn, b es un vector n-dimensional, y alpha un escalar. Demuestre que

$\bigtriangledown _{x}f(x) = Ax + b$

y

$H = \bigtriangledown ^{2}_{x}f(x) = A$

¿Se trata simplemente de tomar una derivada con respecto a X, cómo se atacaría ésta?

8 votos

El símbolo se llama "nabla" o "del"; véase es.wikipedia.org/wiki/Nabla_operador

1 votos

Vale, ¿entonces en este caso el problema es una cuestión de tomar la derivada con respecto a x de la ecuación dada?

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@Greg: ¿Es $\nabla _{x}f(x)=Ax+b$ o $\nabla f(x)=Ax+b$ ?

36voto

Lars Truijens Puntos 24005

$\nabla f = (\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n)^t$ denota el vector de derivadas parciales de $f$ y es una notación completamente estándar.

Por otro lado, $\nabla^2 f$ parece utilizarse aquí de forma inusual, es decir, para denotar el hessiano (la matriz de todas las derivadas parciales de segundo orden), $(\partial^2 f/\partial x_i \partial x_j)_{i,j=1}^n$ .

(El significado habitual de $\nabla^2 f$ es el Laplaciano, $\partial^2 f/\partial x_1^2 + \ldots + \partial^2 f/\partial x_n^2$ .)

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No es tan inusual; algunos libros de optimización utilizan $\nabla^2$ como abreviatura del hessiano (en el sentido de $\nabla$ de $\nabla f$ también conocido como el gradiente).

0 votos

Estoy acostumbrado a la siguiente notación: a) $\nabla ^{2}f$ y $\nabla ^{2}\overrightarrow{F}$ como el laplaciano de $f$ (función escalar) o $\overrightarrow{F}$ (campo vectorial), en Física b) $\nabla ^{2}A$ como el hessiano de la matriz $A$ en la optimización.

2 votos

Mejor notación, en mi opinión: $\nabla ^{2}\cdot\overrightarrow{F}$ ya que aquí el operador $\nabla$ "es" un vector, mientras que en $\nabla^2 f$ "es un escalar.

9voto

$\bigtriangledown f$ encuentra la dirección del cambio máximo en f.

2 votos

Aunque esta respuesta es cierta, no es tremendamente útil para alguien que se plantea una pregunta tan básica.

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