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¿Cuál es la diferencia entre la norma de Frobenius y la norma 2 de una matriz?

Dada una matriz, ¿la norma de Frobenius de esa matriz es siempre igual a la norma 2 de la misma, o hay ciertas matrices en las que estos dos métodos de norma producirían resultados diferentes?

Si son idénticos, supongo que la única diferencia entre ellos es el método de cálculo, ¿eh?

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andy boot Puntos 3270

Hay tres tipos importantes de normas matriciales. Para algunas matrices $A$

  • Norma inducida, que mide lo que es el máximo de $\frac{\|Ax\|}{\|x\|}$ para cualquier $x \neq 0$ (o, en su defecto, el máximo de $\|Ax\|$ para $\|x\|=1$ ).

  • La norma de los elementos, que es como desenvolver $A$ en un vector largo, calculando luego su norma vectorial.

  • La norma de Schatten, que mide la norma vectorial de los valores singulares de $A$ .

Así que, para responder a su pregunta:

  • Norma de Frobenius = Norma 2 de los elementos = Norma 2 de la sombra

  • Norma 2 inducida = Schatten $\infty$ -norma. También se denomina norma espectral.

Así que si por "norma 2" te refieres a la norma de los elementos o de Schatten, entonces son idénticas a la norma de Frobenius. Si te refieres a la norma 2 inducida, obtienes la norma 2 espectral, que es $\le$ Norma de Frobenius. (Debe ser menor o igual que)

Por lo que sé, si no se aclara de qué tipo se habla, la norma inducida suele estar implícita. Por ejemplo, en matlab, norm(A,2) te da la norma 2 inducida, que ellos llaman simplemente la norma 2. Así que en ese sentido, la respuesta a tu pregunta es que la norma 2 (inducida) de la matriz es $\le$ que la norma de Frobenius, y ambas sólo son iguales cuando todos los valores propios de la matriz tienen igual magnitud.

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John Fouhy Puntos 759

Ver Wikipedia para todas las definiciones. Toma esta matriz: $$ \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} $$ Su norma de Frobenius es $\sqrt{10}$ pero sus valores propios son $3,1$ por lo que su $2$ -(o radio espectral) es $3$ . La norma de Frobenius es siempre al menos tan grande como el radio espectral. La norma de Frobenius es como máximo $\sqrt{r}$ tanto como el radio espectral, y esto es probablemente ajustado (véase la sección sobre equivalencia de normas en Wikipedia).

Tenga en cuenta que el Schatten $2$ -es igual a la norma de Frobenius.

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user1858991 Puntos 11

La norma 2 (norma espectral) de una matriz es la mayor distorsión del círculo unitario/esfera/hiperesfera. Corresponde al mayor valor singular (o |valor propio| si la matriz es simétrica/hermitiana).

La norma de Forbenius es la "diagonal" entre todos los valores singulares.

es decir $$||A||_2 = s_1 \;\;,\;\;||A||_F = \sqrt{s_1^2 +s_2^2 + ... + s_r^2}$$

(siendo r el rango de A).

Aquí tienes una versión en 2D: $x$ es cualquier vector en el círculo unitario. $Ax$ es la deformación de todos esos vectores. La longitud de la línea roja es la 2-norma (mayor valor singular). Y la longitud de la línea verde es la norma de Forbenius (diagonal). enter image description here

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Jay Griff Puntos 29

La norma L2 (o L^2) es la norma euclidiana de un vector.

La norma de Frobenius es la norma euclidiana de una matriz.

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