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Calcular el momento de inercia de copo de nieve de Koch

Eso es sólo una diversión pregunta. Por favor, ser creativo.

Supongamos tener un copo de nieve de Koch. El área dentro de esta curva es tener la masa total $M$ y la longitud de la primera iteración es $L$ (un simple triángulo equilátero de lado a $L$). Suponga que la densidad uniforme.

Si la curva es en $xy$ plano, la rotación se realiza en el $z$ eje, alrededor del centro de la curva.

Calcular su momento de inercia.

14voto

Mark McClure Puntos 14421

Para la concreción bien, supongamos que estamos calculando el momento de inercia de un Copo de nieve de Koch $K$ de densidad uniforme y masa 1 se muestra abajo a la izquierda. Este copo de nieve está centrada en el origen y tiene un diámetro de entre 3, es decir, la distancia máxima entre dos puntos es de tres. A partir de aquí, sería fácil para calcular el momento de que otro copo de Koch de diferente tamaño y densidad uniforme, mientras que está centrado en el origen.

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El momento de inercia de este copo $K$, como yo lo entiendo, es simplemente $$\iint\limits_{K} (x^2+y^2) \, dA$$ dividida por el área del copo de nieve. Hay cualquier número de herramientas que se puede calcular este numéricamente. Usando Mathematica, se me ocurrió 0.813719. (Me podría proporcionar el código, si lo desea.)

Este valor también puede ser calculada exactamente el uso de la teoría de la auto-similar de integración, como se describe en Bob Strichartz papel Evaluar las Integrales de Uso de Auto-similitud. La aplicación de este, he calculado un valor exacto de $9/11$ o $0.\overline{81}$. El resto de esta respuesta va a describir el proceso, aunque esto requiere bastante sofisticado conocimiento de la auto-similitud y la teoría de la medida.

Vamos a utilizar el hecho de que el Copo de nieve de Koch es auto-similar - se compone de 7 copias de sí mismo, como se muestra en la figura de arriba a la derecha. El factor de escala para el medio de la pieza es $1/\sqrt{3}$ e es $1/3$ para los demás. Supongamos que las funciones en el IFS asignación de $K$ sobre las piezas individuales se $T_0,T_1,\ldots,T_6$, $T_0$ la asignación a la pieza central. Las funciones exactas en el IFS son

\begin{align} T_0(x,y) &= \frac{1}{\sqrt{3}}R\left(\frac{\pi}{2}\right)\left(\begin{array}{c}{x\\y}\end{array}\right) \\ T_{i}(x,y) &= \frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}{x\\y}\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}{\cos\left(\frac{\pi}{6} + i\frac{\pi}{3}\right)\\ \sin\left(\frac{\pi}{6} + i\frac{\pi}{3}\right)}\end{array}\right), \end{align} donde $\varphi$ rangos de $\pi/6$ $11\pi/6$en pasos de $\pi/3$ $R(\pi/2)$ representa una rotación a través del ángulo de $\pi/2$.

Según lo explicado por Strichartz, la integral de una función $f$ definida en un conjunto similar puede ser calculadas con respecto a cualquier medida similar a $\mu$. Se especializa nuestra notación algo para lidiar con este problema específico, una medida $\mu$ $\mathbb R^2$ se llama auto-similar con respecto a una lista de pesos $p_0,p_1,\ldots,p_6$, si se cumple $$\mu(A) = \sum_{i=0}^6 p_i \mu(T_i^{-1}(A)$$ para cada $A\subset\mathbb R^2$. Como resultado, cualquier integral con respecto a $\mu$ va a satisfacer $$\int f d\mu = \sum_{i=0}^6 p_i \int f \circ T_i \, d\mu.$$ Como se explica en Strichartz papel no hay una única medida $\mu$ que satisface la auto-similitud condición para cualquier lista de probabilidades de $p_0,p_1,\ldots,p_6$. Tenemos que elegir las probabilidades, de modo que la medida de $\mu$ es uniforme. Dado un IFS con factores de escala $r_0, r_1, \ldots, r_6$, un uniforme de medida puede ser construido por la elección de $p_i = r_i^s$ donde $s$ satisface Moran ecuación $$\sum_{i=0}^6 r_i^s = 1.$$ Esto produce que la probabilidad de la lista de $p_0=1/3$$p_i = 1/9$$i=1,\ldots,6$.

Ahora, desde la masa total de $K$ con respecto al $\mu$ es 1, tenemos que la integral de cualquier constante es sólo que la constante, es decir, $$\int c \, d\mu = c.$$ Podemos utilizar la auto-similitud de la integral para calcular las integrales de $f_1(x,y)=x$ $f_2(x,y)=y$ como sigue. Escrito como una lista de funciones que devuelven los pares ordenados, el IFS es

\begin{align} T_0(x,y) &= \left(-\frac{y}{\sqrt{3}},\frac{x}{\sqrt{3}}\right) \\ T_1(x,y) &= \left(\frac{x}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{y}{3}+\frac{1}{2}\right) \\ T_2(x,y) &= \left(\frac{x}{3},\frac{y}{3}+1\right) \\ T_3(x,y) &= \left(\frac{x}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{y}{3}+\frac{1}{2}\right) \\ T_4(x,y) &= \left(\frac{x}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{y}{3}-\frac{1}{2}\right) \\ T_5(x,y) &= \left(\frac{x}{3},\frac{y}{3}-1\right) \\ T_6(x,y) &= \left(\frac{x}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{y}{3}-\frac{1}{2}\right) \end{align}

Tenga en cuenta que $f_1$ devuelve sólo el primer componente y $f_2$ devuelve el segundo. La extracción de los primeros componentes, multiplicándola por los términos en que la probabilidad de la lista y añadir a ellos, para aplicar el auto-similar de integración de la identidad, obtenemos $$\int x \, d\mu = \frac{2}{9}\int x \, d\mu - \frac{1}{3\sqrt{3}} \int y \, d\mu.$$ Del mismo modo, $$\int y \, d\mu = \frac{1}{3\sqrt{3}} \int x \, d\mu + \frac{2}{9}\int y \, d\mu.$$ Esto lleva a un par de ecuaciones en las incógnitas $$\int x \, d\mu \: \text{ and } \int y \, d\mu,$$ con una única solución a la que ambos son cero. A partir de la simetría de las funciones y el dominio, esto es absolutamente correcto. Un procedimiento similar puede llevarse a cabo en los términos de segundo orden. Nos encontramos con que \begin{align} \int x^2 \, d\mu &= \int (1/3 + 2x^2/27 +y^2/9) \, d\mu \\ \int xy \, d\mu &= -\int xy/27 \, d\mu \\ \int y^2 \, d\mu &= \int (1/3 + x^2/9 + 2y^2/27) \, d\mu. \end{align} La solución de estos para las integrales de $x^2$ $y^2$ y sumando, obtenemos el resultado deseado.

2voto

hush Puntos 31

Aquí es el enfoque que me gustaría tener.

(1) los Momentos de inercia son aditivas, por lo que la idea sería hacer un resumen sobre todas las iteraciones de triángulo-adición.

(2) El momento de inercia de la central triángulo es sencillo de calcular.

(3) En el $i_{th}$ iteración, hay $a_i$ triángulos.

(4) El centro de estos triángulos son computables a distancia $d_i$ distancia desde el eje. Usted puede utilizar el paralelo del eje teorema de dar el momento de inercia sobre el centro del triángulo central en términos de$d_i$, y el momento de inercia de los triángulos en que la iteración.

(5) la Suma de todos los $i$.

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