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¿Es la cobertura universal de un grupo algebraico un grupo algebraico?

Aquí algebraicas grupo de medios afines algebraica de grupo en ambas instancias. También estoy interesada sobre todo en los grupos de más de $\mathbb{C}$. De hecho, me estoy tomando la $\pi_1(G)$ a significar el grupo fundamental de la $G_{an}$, el analytification. Así que supongo que mi pregunta sólo se aplica a la base de campo de ser o $\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$.

En este caso, estos grupos se encuentran también grupos de álgebras de Lie. Si $\mathfrak{g}$ es semisimple Mentira álgebra, a continuación, hay una conexión con el peso y la raíz de redes: hay una correspondencia 1-1 entre conectada Mentira grupos con Mentira álgebra $G$ y celosías $\Lambda$$\Lambda_W \supset \Lambda \supset \Lambda_R$.

El grupo correspondiente a $\Lambda = \Lambda_R$ es siempre algebraicas porque es el adjunto del grupo. Un poco más generales de la pregunta entonces es, para $\Lambda_W \supset \Lambda \supset \Lambda_R$ es el grupo correspondiente $G_\Lambda$ afín algebraicas?

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Matt Dawdy Puntos 5479

Para grupos $\mathbb{R}$ la respuesta es no. El grupo de puntos reales de un grupo algebraico afín tiene una fiel representación lineal finito-dimensional sobre $\mathbb{R}$, pero es bien sabido que la cobertura universal de $\text{SL}_2(\mathbb{R})$ no tiene ninguna representación lineal finito-dimensional fiel (lamentablemente no conozco una referencia para esto).

3voto

Cd-MaN Puntos 7911

Más de $\mathbf{C}$ creo que la respuesta es sí (la universalización de la cobertura es algebraico), aunque yo no soy un experto. Aquí está la historia como yo la entiendo.

Conectado[*] semisimple algebraicas lineales grupo sobre un campo $k$ se llama simplemente conectado si se admite que no trivial isogeny de otro conectado grupo. (Un isogeny es un surjective, tv de homomorphism algebraico $k$-grupos finitos núcleo). Ahora igual que en la Mentira de grupo de la historia, agradable algebraica de los grupos se clasifican por la combinatoria de datos. Precisamente, una reductora $k$grupo $G$ junto con una fracción de máxima torus $T$, se clasifica por una "raíz de referencia", que es aproximadamente de las raíces y coroots de $G$ con respecto al $T$, más el entramado de personajes y cocharacters de $T$. ("Casi", porque al $k$ no es algebraicamente cerrado, usted necesita para mantener un seguimiento de la acción del grupo de Galois de $k$ en las redes, también.) En consecuencia, isogenies entre estos grupos coinciden bijectively con adecuada "morfismos" entre los respectivos datos de raíz. Estos teoremas son un poco implicado, pero sin duda puede ser encontrado en Borel el libro sobre algebraicas lineales grupos, para el caso de que a usted le preocupan. (Algebraicamente cerrado campo de característica cero, es decir,$\mathbf{C}$.)

Una consecuencia de esta teoría es que para cualquier conectados semisimple algebraicas lineales $\mathbf{C}$-grupo, existe un "algebraico" cobertura universal", es decir, un isogeny $\tilde{G}\to G$ simplemente se conecta $\mathbf{C}$grupo $\tilde{G}$. (De hecho, no necesitamos estar trabajando más de $\mathbf{C}$ para que esto sea cierto.)

Ahora aquí está el quid. Me dicen que si $G$ se conecta simplemente a $\mathbf{C}$-grupo, entonces el cerrado de los puntos de $G(\mathbf{C})$ simplemente conectado en el clásico de la topología. La hipótesis de que somos más de $\mathbf{C}$ es fundamental: $\mathrm{Sp}(2n)$ se conecta simplemente a $\mathbf{R}$-grupo, pero la cobertura universal de $\mathrm{Sp}(2n)(\mathbf{R})$ es el no algebraicas metaplectic grupo.

Permítanme esbozar la prueba de la reclamación, que es sorprendentemente baratos duro. (Esto me lo explicó Brian Conrad; errores presento son, por supuesto, mi propia cuenta.) En primer lugar, es un hecho, aunque no es una tautología, que desde $G$ está conectado, $G(\mathbf{C})$ está conectado en el clásico de la topología. Así que es un buen comienzo. A continuación, por la clásica teoría de la Mentira, el complejo de la Mentira de grupo $G(\mathbf{C})$ es homotopy equivalente a un máximo compacto real Mentira-subgrupo $K$. Desde $K$ es un compacto de colector, esto implica que $H^1(G(\mathbf{C}),\mathbf{Z})$ es finitely generado. Pero este grupo es el abelianization de $\pi_1(G(\mathbf{C}))$ (Hurewicz); y el grupo fundamental es ya abelian porque esto es cierto para todos los grupos topológicos. Por lo $\pi_1(G(\mathbf{C}))$ es finitely generado (y abelian). En particular, tiene un número finito de cociente. Así que si $G(\mathbf{C})$ no (clásico) simplemente conectado, no sería un finito que cubre mapa de complejo Mentira grupos $G'\to G(\mathbf{C})$. Ahora un duro teorema de Grauert (relativas $\pi_1(G(\mathbf{C}))$ a "\'etale grupo fundamental" de $G$, lo que clasifica a la algebraicas analógica de finito cubriendo mapas) implica que $G'$, así como su analítica de la estructura del grupo, únicamente pueden ser dada una expresión algebraica de la estructura. En otras palabras, no es una expresión algebraica $\mathbf{C}$grupo $G_0'$$G'=G_0'(\mathbf{C})$, y un isogeny $G_0'\to G$, de tal manera que la inducida por el mapa en $\mathbf{C}$-puntos de es $G'\to G(\mathbf{C})$. En particular, $G_0'\to G$ es un trivial isogeny, ya que en $\mathbf{C}$-puntos es un trivial finito convering mapa. Y esto se contradice con la (algebraica) simple-conectividad de $G$.

¡Uf! Así que en resumen, para la conexión de la semisimple algebraicas lineales $\mathbf{C}$grupos $G$, la cobertura universal de $G(\mathbf{C})$ es, precisamente, $\tilde G(\mathbf{C})$ donde $\tilde G$ es el simplemente conectado forma de $G$.

[*] Advertencia: En esta respuesta, "conectado" significa Zariski-conectado. Para algebraica de los grupos de más de $\mathbf{R}$, esto es MUY diferente de la $\mathbf{R}$-puntos están conectados en la clásica topología!

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