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Una muy complicado pseudo-prueba de $0=-1$ a través de series e integrales

Tratar con una reciente pregunta , he visto un muy buen ejercicio para Calc-2 estudiantes, es decir, para encontrar el error en las siguientes líneas.

Lema 1. Para cualquier $n\in\mathbb{N}$, tenemos: $$ \int_{0}^{1} x^n\left(1+(n+1)\log x\right)\,dx = 0. $$ Lema 2. Para cualquier $x\in(0,1)$ tenemos: $$ \frac{1}{1-x}=\sum_{n\geq 0}x^n,\qquad \frac{\log x}{(1-x)^2}=\sum_{n\geq 0}(n+1) x^n\log(x). $$ Por los Lemas 1 y 2 se deduce que: $$\begin{eqnarray*}(\text{Lemma 1})\quad\;\;\color{red}{0}&=&\int_0^1 \sum_{n\geq0} x^n\left(1+(n+1)\log x\right)\,dx\\[0.2cm](\text{Lemma 2})\qquad&=&\int_0^1 \left(\frac{1}{1-x} + \frac{\log x}{(1-x)^2}\right)\,dx\\[0.2cm](x\mapsto 1-x)\qquad&=&\int_0^1 \left(\frac{1}{x}+\frac{\log(1-x)}{x^2}\right)\,dx\\[0.2cm](\text{Taylor series of }x+\log(1-x))\qquad&=&-\int_0^1 \frac{1}{x^2} \sum_{k\geq2}\frac{x^k}k \,dx\\[0.2cm](\text{termwise integration})\qquad&=&-\sum_{k\geq 2} \frac{1}{k(k-1)}\\[0.2cm](\text{telescopic series})\qquad&=&-\sum_{m\geq 1} \left(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}\right)=\color{red}{-1}. \end{eqnarray*}$$

Ahora el real preguntas: fueron capaces de localizar el defecto fatal a primera vista?
¿Crees que es un muy adecuado ejercicio de Cálculo-2 (o Cálculo-X) estudiantes?

4voto

DiGi Puntos 1925

El error está en el principio, en el intercambio de la integral y la suma. Estoy demasiado oxidada (y demasiado perezoso!) para ir más allá de la comprobación de que la secuencia de funciones no cumple con un estándar condición suficiente para el intercambio, pero el resto de los pasos son legítimos, por lo que debe ser el punto de fricción.

En los Estados Unidos cálculo de los cursos que he impartido u observado, este material le venga en Calc. $2$, en la medida en que apareció en todos, y el intercambio de la integral y la suma de no aparecer en absoluto; que la hace prácticamente imposible el ejercicio. Por otra parte, la mayoría de los estudiantes en los típicos de primer año de los cursos de análisis matemático todavía tienen la idea de que las matemáticas son algoritmos de cálculo; conseguir que les prestan la suficiente atención a los detalles para entender por qué la no existencia de un cero de $\frac1x$ no contradice el teorema del valor intermedio, o incluso recordar que el signo de $x$ importa a la hora de multiplicar una desigualdad $f(x)\le g(x)$$x$, es no trivial de desafío, en la medida en que el ex menudo se pasa por el tablero.

Este podría ser el apropiado para una muy buena pasada de moda avanzado curso de cálculo; el título de real, el análisis de los cursos que me enseñó que había un énfasis diferente y no cubrir el material necesario.

3voto

Michael Hardy Puntos 128804

$$ \int_0^1 \sup_N \left| \sum_{n=0}^N x^n (1+(n+1)\log x) \right| \, dx = +\infty $$

El teorema de convergencia dominada dice $$ \lim_N \int f_N = \int \lim_N f_N \quad\text{si } \int \sup_N |f_N| < \infty. $$ Que es demasiado grande un "si" en este caso.

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