PDE original $$T_t=\alpha T_{xx}$$ Necesito resolver esta ecuación numérica y analíticamente y compararlas. Ya he hecho la parte numérica. Pero ahora necesito resolverla analíticamente.
Dada la condición inicial $$T(x,0)=sin(\frac{\pi x}{L})$$ donde $$L=1$$
Me gustaría encontrar la solución exacta de la ecuación del calor.
Sé lo que $$T(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n sin(n\pi x)e^{-n^2\pi^2\alpha t}\\where\\B_n=2\int_0^1T(x,0)sin(n\pi x)dx$$
Después de evaluar esta integral, obtengo la solución como
$$T(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2sin(n\pi)}{(1-n^2)\pi} sin(n\pi x)e^{-n^2\pi^2\alpha t}$$
Creo que he hecho algo mal aquí porque $$n=1^{th}$$ término no está definido. ¿Puede alguien indicarme mi error si lo hay? Muchas gracias.
Corregido
Bn es distinto de cero sólo en n=1. Evaluando el caso para n=1, Bn=1
Así que la solución es
$$T(x,t)=sin(\pi x)e^{-\pi^2\alpha t}$$
Gracias a Leucippus y AlexZorn por la corrección.