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ecuación del calor con series de fourier

PDE original $$T_t=\alpha T_{xx}$$ Necesito resolver esta ecuación numérica y analíticamente y compararlas. Ya he hecho la parte numérica. Pero ahora necesito resolverla analíticamente.

Dada la condición inicial $$T(x,0)=sin(\frac{\pi x}{L})$$ donde $$L=1$$

Me gustaría encontrar la solución exacta de la ecuación del calor.

Sé lo que $$T(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n sin(n\pi x)e^{-n^2\pi^2\alpha t}\\where\\B_n=2\int_0^1T(x,0)sin(n\pi x)dx$$

Después de evaluar esta integral, obtengo la solución como

$$T(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2sin(n\pi)}{(1-n^2)\pi} sin(n\pi x)e^{-n^2\pi^2\alpha t}$$

Creo que he hecho algo mal aquí porque $$n=1^{th}$$ término no está definido. ¿Puede alguien indicarme mi error si lo hay? Muchas gracias.

Corregido

Bn es distinto de cero sólo en n=1. Evaluando el caso para n=1, Bn=1

Así que la solución es

$$T(x,t)=sin(\pi x)e^{-\pi^2\alpha t}$$

Gracias a Leucippus y AlexZorn por la corrección.

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Alex Zorn Puntos 2637

Dos comentarios.

En primer lugar, tu cálculo integral es algo parecido a esto:

$$2\int_0^1\sin(\pi x)\sin(n\pi x)\, dx = \int_0^1 \cos((n - 1)\pi x) - \cos((n+1)\pi x)\, dx$$

Ahora, es tentador escribir:

$$\int \cos((n-1)\pi x)\, dx = \frac{\sin((n-1)\pi x)}{\pi(n-1)} + C$$

Pero, por supuesto, esto no es cierto cuando $n = 1$ . De ahí su error.

El segundo comentario es que en realidad se pueden resolver los coeficientes "por inspección", sin tener que calcular ninguna integral. En concreto, tenemos:

$$T(x,t) = \sum_{n = 1}^{\infty} B_n \sin(n \pi x)e^{-n^2\pi^2 \alpha t}$$

Así que..:

$$T(x,0) = \sum_{n = 1}^{\infty} B_n \sin(n \pi x) = B_1\sin(\pi x) + B_2 \sin(2\pi x) + \cdots$$

Y también $T(x,0) = \sin(\pi x)$ . Debe quedar claro que $B_1 = 1$ y el resto de $B_n$ son cero.

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Leucippus Puntos 11926

Dado el pde $u_{t} = \alpha u_{xx}$ , $u(0,t) = u(L,t) = 0$ y $u(x,0) = \sin\left(\frac{\pi x}{L} \right)$ la ecuación puede separarse mediante el uso de $u(x,t) = F(t) G(t)$ y conduce a las ecuaciones \begin{align} F' + \lambda^{2} \alpha F &= 0 \\ G'' + \lambda^{2} G &= 0 \end{align} que tienen soluciones \begin{align} F(t) &= e^{- \lambda^{2} \alpha t} \\ G(x) &= A \cos(\lambda x) + B \sin(\lambda x). \end{align} Aplicando ahora las condiciones de contorno se ve que la solución general es \begin{align} u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_{n} \, \sin\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \, e^{- \frac{n^{2} \pi^{2} \alpha t}{L^{2}}}. \end{align} Aplicando la condición inicial se obtiene \begin{align} \sin\left(\frac{\pi x}{L} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} B_{n} \, \sin\left( \frac{n \pi x}{L} \right). \end{align} Se trata de una serie de Fourier cuyos coeficientes vienen dados por \begin{align} B_{n} = \frac{2}{L} \, \int_{0}^{L} \sin\left(\frac{\pi x}{L} \right) \, \sin\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \, dx. \end{align} Para el caso $n= 1$ se observa que \begin{align} B_{1} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} \sin^{2}\left( \frac{\pi x}{L} \right) \, dx = 1 \end{align} mientras que para $n \geq 2$ \begin{align} B_{n} = \frac{1}{2 \pi} \, \frac{\sin(n \pi) }{1 - n^{2}} = 0 \end{align} desde $n$ es un número entero. La solución para $u$ es ahora \begin{align} u(x,t) = \sin\left( \frac{\pi x}{L} \right) \, e^{- \frac{\pi^{2} \alpha t}{L}}. \end{align}

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