51 votos

¿Levantar cejas patrón del número de números primos entre los términos de la secuencia de número de Fibonacci?

Así, $$1,1,2,3,5,8,13,21...$$ Cualquier conexión a los números primos?...parece que no. Sin embargo, entre los números de Fibonacci son cuánta números primos? Vamos a ver:

  • 1 y 1 CERO
  • 1 y 2 NADA
  • 2 y 3 nada de nada
  • 3 y 5 ZIP
  • 5 y 8 1
  • 8 y 13 1
  • 13 y 21 2
  • 21 y 34 3
  • 34 y 55 5
  • 55 y 89 8
  • 89 y 144 13

Eh. Lo que podría implica esto? Permítanme cerrar con el mismo molesto patrón. $$1,2,3,5,8,13,21...$$

56voto

nullUser Puntos 12160

La ceja de sensibilización, de hecho, a pesar de que el patrón no continuar como usted sugiere. Puedo conseguir $$ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 16, 23, 37, 55, 84, 125, 198 $$

Recuerde que el número de números primos tiene un conocido tasa de crecimiento (https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem). Puesto que los números de Fibonacci son relativamente extendido, usando $n/\log n$ para aproximar el número de números primos menores de $n$ provocará que el número de números primos entre ellos se comportan como la tasa de crecimiento de los números primos.

28voto

TravisJ Puntos 5215

Este es un divertido observación... pero creo que tienes un error. Me escribió una rápida secuencia de comandos de python para generar los números de fibonacci y los números primos y hacer la cuenta y esto es lo que obtengo:

Entre el 5 y el 8 hay 1 prime: 7

Entre el 8 y el 13 hay 1 prime: 11

Entre el 13 y el 21 hay 2 números primos: 17, 19

Entre 21 y 34 hay 3 números primos: 23, 29, 31

Entre 34 y 55 hay 5 números primos: 37, 41, 43, 47, 53

De entre 55 y 89 hay 7 números primos: 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83

Entre el 89 y 144 hay 10 números primos: 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139

Entre 144 y 233 hay 16 números primos: 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229

Entre 233 y 377 hay 23 números primos: 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373

Entre 377 y 610 hay 37 números primos: 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607

18voto

casperOne Puntos 49736

Usted puede hacer sentido de este patrón (que como yoann señala no ir muy lejos) como decir que la densidad de los números primos es una constante $\phi^{-3}\approx0.236$, ya que la longitud del hueco es de $F_{n+1}-F_n=F_{n-1}$ y la conjetura primer recuento en esta brecha es de $F_{n-4}\approx F_{n-1}\phi^{-3}$.

Por desgracia, esto va en contra del primer número teorema o varios débil versiones que dicen que la densidad de los primos de va $0$ grandes $n$, por lo que incluso sin que en ello está claro que el patrón debe ser de corta duración.

(Nota: Debido a que los números de Fibonacci divergen demasiado rápido, la conjetura patrón en sí mismo no es suficiente para demostrar que la densidad de los números primos es de $\phi^{-3}$. Pero es suficiente para probar que la parte superior de la densidad es por lo menos este, que es suficiente para violar la densidad resultado de cero. Y esto es fácil de demostrar - teniendo en cuenta los números no divisibles por $2,3,5,7$ ya da la densidad de $8/35<\phi^{-3}$.)

11voto

yoann Puntos 892

El patrón no parecen ir: sólo hay 17 números primos entre 144 y 233.

Más generalmente, utilizando el Primer número de el teorema de $\pi(x) \sim_{x \to \infty} \frac x {\ln x}$ (donde $\pi(x)$ es y el número de números primos menores o iguales a $x$), y la fórmula para el n-ésimo número de Fibonacci $F_n \sim_{n \to \infty} \frac{\phi^n}{\sqrt 5}$, se puede demostrar que: $$\pi(F_n) \sim_{n \to \infty} \frac{\phi^n}{n \sqrt 5 \ln \phi}$$ El número de números primos entre dos números de Fibonacci consecutivos es por lo tanto: $$\pi(F_{n+1}) - \pi(F_n) \sim_{n \to \infty} \frac{\phi^n (\phi - 1)}{n \sqrt 5 \ln \phi} \sim_{n \to \infty} \frac{\phi - 1}{n\ln \phi} F_n$$.

Lo que se contradice con lo que te gustaría tener por un factor de $\frac{\phi - 1}{n\ln \phi}$.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X