Acabo de descubrir que debo tener grandes lagunas en mis conocimientos de cálculo básico, y esto me da miedo, sinceramente.
Tengo que calcular algunas derivadas de la solución de un sistema dinámico: \begin{equation*} \frac{\text d y(t)}{\text dt} = f(t,y(t)),\quad y(t_0) = y_0,\quad t_0\leq t\leq T. \end{equation*}
Digamos que tengo que calcular derivadas con respecto a $t$ . Claramente, $\dfrac{\text d y(t)}{\text dt}$ se da.
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Quiero calcular $\dfrac{\text d y(t)}{\text du}$ con $u<t$ . Yo escribo: \begin{equation*} y(t) = y(u) +\int_u^t f(\tau,y(\tau))\text d \tau\therefore\dfrac{\text d y(t)}{\text du}=\dfrac{\text d y(u)}{\text du}+\dfrac{\text d}{\text du}\int_u^t f(\tau,y(\tau))\text d \tau=f(u,y(u))+? \end{equation*} El signo de interrogación se mantiene por el hecho de que tengo algunas dudas sobre cómo calcular la derivada de la integral por la regla de Leibniz. No voy a relatar aquí todas mis dudas, podría llenar páginas.
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Supongo $\dfrac{\text d y(t)}{\text du}=0$ con $u>t$ por razones físicas (¿cómo puede el futuro influir en el pasado?), pero ¿es en realidad ¿Verdad? Si desenrollo todo el cálculo obtendré por regla de la cadena algunos términos como $\dfrac{\text d t}{\text du}$ . Intuitivamente, debería ser cero, pero como $\dfrac{\text d t}{\text du}=\left(\dfrac{\text d u}{\text dt}\right)^{-1}$ entonces lo pondría a 1.
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el caso concreto $\dfrac{\text d y(t)}{\text d t_0}$ es el más divertido. Obtengo resultados diferentes al calcularlo como \begin{equation*} \dfrac{\text d y(t)}{\text d t_0} = \dfrac{\text d}{\text d t_0}\left(y_0+\int_{t_0}^t f(\tau,y(\tau))\text d\tau\right) = -f(t_0,y_0) \end{equation*} o \begin{equation*} \dfrac{\text d y(t)}{\text d t_0} = \dfrac{\text d y(t)}{\text d t}\dfrac{\text d t}{\text d t_0} = f(t,y(t)) \end{equation*}
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¿Qué pasa con $\dfrac{\text d y(u)}{\text d y(t)}$ con $t<u$ ¿Por la regla de Leibniz? Obtengo resultados diferentes escribiendo $y(u)=y(t)+\int_t^u f(\tau,y(\tau))\text d\tau$ o $y(u)=y_0+\int_0^u f(\tau,y(\tau))\text d\tau$
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$\dfrac{\text d y(u)}{\text d y(t)}$ con $t>u$ sería 0 por razones físicas, o la inversa de lo que resulta en el punto 4, por álgebra de diferenciales.
¿Cómo resolvería estas dudas? Creo que no entiendo completamente el significado de derivada ..