2 votos

No comprender algunas ideas básicas sobre la diferenciación

Acabo de descubrir que debo tener grandes lagunas en mis conocimientos de cálculo básico, y esto me da miedo, sinceramente.

Tengo que calcular algunas derivadas de la solución de un sistema dinámico: \begin{equation*} \frac{\text d y(t)}{\text dt} = f(t,y(t)),\quad y(t_0) = y_0,\quad t_0\leq t\leq T. \end{equation*}

Digamos que tengo que calcular derivadas con respecto a $t$ . Claramente, $\dfrac{\text d y(t)}{\text dt}$ se da.

  1. Quiero calcular $\dfrac{\text d y(t)}{\text du}$ con $u<t$ . Yo escribo: \begin{equation*} y(t) = y(u) +\int_u^t f(\tau,y(\tau))\text d \tau\therefore\dfrac{\text d y(t)}{\text du}=\dfrac{\text d y(u)}{\text du}+\dfrac{\text d}{\text du}\int_u^t f(\tau,y(\tau))\text d \tau=f(u,y(u))+? \end{equation*} El signo de interrogación se mantiene por el hecho de que tengo algunas dudas sobre cómo calcular la derivada de la integral por la regla de Leibniz. No voy a relatar aquí todas mis dudas, podría llenar páginas.

  2. Supongo $\dfrac{\text d y(t)}{\text du}=0$ con $u>t$ por razones físicas (¿cómo puede el futuro influir en el pasado?), pero ¿es en realidad ¿Verdad? Si desenrollo todo el cálculo obtendré por regla de la cadena algunos términos como $\dfrac{\text d t}{\text du}$ . Intuitivamente, debería ser cero, pero como $\dfrac{\text d t}{\text du}=\left(\dfrac{\text d u}{\text dt}\right)^{-1}$ entonces lo pondría a 1.

  3. el caso concreto $\dfrac{\text d y(t)}{\text d t_0}$ es el más divertido. Obtengo resultados diferentes al calcularlo como \begin{equation*} \dfrac{\text d y(t)}{\text d t_0} = \dfrac{\text d}{\text d t_0}\left(y_0+\int_{t_0}^t f(\tau,y(\tau))\text d\tau\right) = -f(t_0,y_0) \end{equation*} o \begin{equation*} \dfrac{\text d y(t)}{\text d t_0} = \dfrac{\text d y(t)}{\text d t}\dfrac{\text d t}{\text d t_0} = f(t,y(t)) \end{equation*}

  4. ¿Qué pasa con $\dfrac{\text d y(u)}{\text d y(t)}$ con $t<u$ ¿Por la regla de Leibniz? Obtengo resultados diferentes escribiendo $y(u)=y(t)+\int_t^u f(\tau,y(\tau))\text d\tau$ o $y(u)=y_0+\int_0^u f(\tau,y(\tau))\text d\tau$

  5. $\dfrac{\text d y(u)}{\text d y(t)}$ con $t>u$ sería 0 por razones físicas, o la inversa de lo que resulta en el punto 4, por álgebra de diferenciales.

¿Cómo resolvería estas dudas? Creo que no entiendo completamente el significado de derivada ..

3voto

TotoPasta Puntos 50

Premisa. Como ya se ha señalado en los comentarios, creo que tu confusión se debe a un uso algo excesivo de la notación de Leibniz para la derivada, más que a una mala comprensión de la derivada en sí. Aunque la notación $\rm{d}y/\rm{d}t$ es innegablemente intuitiva y "ágil" para algunas cosas, no es la notación más precisa posible. En particular, desordena completamente el punto en el que se evalúa la derivada, haciendo imposible distinguir entre la variable independiente y algún punto fijo. Sugiero que la eliminemos por completo, y en su lugar escribamos $y'(t)$ para la derivada de $y$ en el punto $t$ . Teniendo esto en cuenta, permítanme abordar sus puntos uno por uno

1) Si $u,t\in[t_0,T]$ y $u<t$ es cierto que $$y(t)=y(u)+\int_u^tf(\tau,y(\tau))\,\rm{d}\tau,$$ pero no está nada claro qué $\rm{d}y(t)/\rm{d}u$ incluso significa. Si te refieres a la derivada de $y$ evaluado en el punto $u$ es decir $y'(u)$ entonces esto es sólo $f(u,y(u))$ . De lo contrario, se podría decir $t$ ya está arreglado y $u$ es su variable independiente (esto reduce efectivamente su intervalo a $[t_0,t]$ ). Ahora que se ha aclarado el significado de todos los símbolos, puedes tomar una derivada de ambos lados de tu ecuación: el LHS desaparece porque $y(t)$ es ahora una constante, mientras que el lado derecho es $$y'(u) - f(u,y(u)) = y'(u) - y'(u) = 0,$$ es decir, se obtiene la identidad trivial $0=0$ como deberías.

2) Tu escrito en este punto corrobora la idea de que para ti $\rm{d}y(t)/\rm{d}u$ debe representar $y'(u)$ . Permítanme señalar, sin embargo, que usted no tiene absolutamente ninguna razón para suponer $y'(u)$ desaparece para $u$ mayor que un valor fijo $t\in[t_0,T]$ , a menos que la función $f$ así lo dicta. Por ejemplo, si toma $f(t,u(t))=A$ donde $A$ es una constante distinta de cero esto es falso, pero la ecuación $y'(t)=f(t,y(t))$ tiene todo el sentido del mundo (y se resuelve fácilmente). La ecuación que resuelves al final de tu post es otro ejemplo. Esto se debe a que mientras utilizamos ecuaciones diferenciales para describir la evolución temporal de los sistemas físicos, no tienen que describirlos. Así, si se quiere que un sistema sea causal , esa es una condición que tienes que imponer en el sistema, de lo contrario podría ser falso.

3) Aquí es donde se ve claramente cómo la notación de Leibniz se queda corta y, al mismo tiempo, lo útil que es. La función inversa se define por la identidad $y(t)=\eta \Longleftrightarrow y^{-1}(\eta)=t,$ entonces bajo algún circunstancias muy razonables tiene $$(y^{-1})'(\eta) = \frac{1}{y'(y^{-1}(\eta))} = \frac{1}{y'(t)}.$$ Obsérvese que el LHS se evalúa en a punto diferente que el lado derecho, pero si nos olvidamos de esto y utilizamos la notación de Leibniz (que no especifica el punto de evaluación de todos modos) la identidad anterior se lee $$\frac{\rm{d}y^{-1}(\eta)}{\rm{d}\eta} = \frac{\rm{d}t}{\rm{d}\eta} = \frac{1}{\rm{d}u/\rm{d}t}.$$ Ahora podemos formalmente escribir esto como $$\frac{\rm{d}t}{\rm{d} y}=\left(\frac{\rm{d} y}{\rm{d}t}\right)^{-1},$$ siempre que entendamos que se trata sólo de una abreviatura notacional y no de una identidad en toda regla. Ahora deberías ser capaz de ver por qué la identidad correcta es $$y'(t_0) = f(t_0,y_0),$$ y no $$y'(t_0) = -f(t_0,y_0).$$

4,5) Creo que mis respuestas anteriores también abordan estos puntos. En particular, no hay "álgebra de diferenciales", sólo identidades diferenciales formales que simulacro teoremas específicos, y como tales deben tomarse con cautela.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X