Demostrar que si $H$ es un subgrupo característico de $K$ y $K$ es un subgrupo normal de $G$ entonces $H$ es un subgrupo normal de $G$

Question

$H$ es un subgrupo característico de $K$ si $\Phi(H)=H~\forall~\Phi\in Aut(K).$ Demostrar que si $H$ es un subgrupo característico de $K$ y $K$ es un subgrupo normal de $G$ entonces $H$ es un subgrupo normal de $G$

Intento: Supongamos que $h \in H, k \in K$

Dado que $\Phi(H) = H \forall \Phi~\in Aut(K).$

Desde entonces, $Inn (K) \subset Aut(K) \implies k^{-1}Hk = H \implies H \vartriangleleft K$ .... $(1)$

Además, se da la circunstancia de que $K \vartriangleleft G$ ..... $(2)$

En $(1),(2): H \vartriangleleft K \vartriangleleft G$

Pero, no creo que esto signifique que $H \vartriangleleft G?$ ¿Me estoy perdiendo algo?

Gracias por su ayuda

Answer 1

Para $g\in G$ Considere $\psi :K\rightarrow K$ con $n\rightarrow gng^{-1}$ .

Está bien definido (???)y es un automorfismo de $K$ (???).

En $H$ es un subgrupo característico de $K$ vemos que $\psi(H)=H$ es decir, $gHg^{-1}=H$ .

En $g\in G$ es arbitraria, vemos que $gHg^{-1}=H$ para todos $g\in G$ . Así, $H\unlhd G$ .

Answer 2

Pista: Si $g\in G$ y $K$ es un subgrupo normal de $G$ entonces la acción de conjugación de $g$ induce un automorfismo de $K$ .

(Además, tener una cadena $H\lhd K\lhd G$ no implica que $H\lhd G$ . Creo que el ejemplo estándar es el producto semidirecto $(H\times H)\rtimes \mathbb{Z}_2$ donde la acción de $\mathbb{Z}_2$ intercambia las copias de $H$ . Tomando $H$ sea cíclico de orden dos da un contraejemplo de orden $8$ .)

Answer 3

Para cualquier $g \in G$ el mapa $x \mapsto g^{-1} x g$ es un automorfismo de $G$ . Desde $K$ es normal, es fija bajo estos automorfismos, es decir, son automorfismos de $K$ . Así $H$ es fijo bajo esos automorfismos, lo que significa que $H$ es normal en $G$ .

Answer 4

Sea $g$$ \en $$G$ . Entonces la conjugación por $g$ mapas $K$ sobre sí misma ya que es normal y la restricción de este mapa de conjugación a $K$ es un automorfismo de $K$ no necesariamente un automorfismo interno de $K$ . Desde $H$$ char $$K$ , $H$ es mapeado sobre sí mismo por este automorfismo de $K$ para todos $g$$ \en $$G$ y por lo tanto $H$$ ^{g} $=$ H $ implying that $ H $$\triangleleft$$ G$.