Dado un anillo conmutativo con unidad $R$ sus unidades $U(R)$ forman un grupo multiplicativo.
$U(R)$ actúa sobre $R$ por multiplicación. Las órbitas de la acción se denominan asociados y la relación de equivalencia resultante se denomina asociación .
Por ejemplo, $$ tiene unidades $\{-1,1\}$ y la asociación es $\{\{-n,n\}:n\in_{0}\}$ .
¿Qué ocurre si eliminamos la conmutatividad de $R$ ? Puesto que la multiplicación por la izquierda y por la derecha difieren, $U(R)$ actuará de forma diferente en cada versión.
Elegí matrices triangulares superiores en $\text{GF}(2)$ como ejemplo, y adquirió los siguientes "asociados de izquierdas": $$ \{\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\},\{\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\},\{\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\},\{\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\},\{\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\},\{\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\} $$
Las unidades actúan como operaciones elementales de fila. Para las "asociaciones a la derecha", las unidades actuarán como operaciones elementales de columna.
Esto plantea la siguiente cuestión: ¿Coincidirán alguna vez los "asociados a la izquierda" y los "asociados a la derecha" para un no conmutativo $R$ ?
