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La distancia más corta entre dos puntos distintos cualquiera es el segmento de recta que los une.

En un plano euclidiano, la distancia más corta entre dos puntos distintos es el segmento de recta que los une. ¿Cómo puedo ver por qué esto es cierto?

25voto

Gudmundur Orn Puntos 853

De vez en cuando es agradable nuke a mosquito .

Supongamos que el camino que une dos puntos $(a,y(a))$ y $(b,y(b))$ puede expresarse como una función, y la curva $C(x)$ viene dada por $C(x) = (x,y(x))$ . A continuación, procederemos a utilizar el Cálculo de Variaciones.

La derivada de $C$ En $x$ es $(1, y')$ y la función que queremos minimizar es la longitud de la curva $L = \int \|C'\|dx = \int_a^b\sqrt{1 + y' ^2} dx$ . Si tomamos $f(x,y,y') = \sqrt{1 + y'^2}$ , obtenemos que $\frac{df}{dy} = 0, \frac{df}{dy'} = \frac{y'}{\sqrt{1 + y'^2}}$ . Entonces el Ecuación de Euler-Lagrange , a veces denominada ecuación fundamental del Cálculo de Variaciones, dice exactamente lo siguiente $\dfrac{d}{dx} \left( \frac{y'}{\sqrt{1 + y'^2}}\right) = 0$ que es exactamente eso $y'$ es una constante.

Así, si el camino que une los dos puntos es expresable como una función, entonces el camino más corto viene dado por una línea recta.

EDITAR Estaba seguro de que alguien estaba escribiendo una respuesta cuando escribí mi respuesta irónica (como suele ocurrir), pero como ahora veo que hay más cosas que añadir, permítanme ampliar mi respuesta

El problema aquí es que primero debemos definir la "distancia". En el plano euclidiano estándar, la distancia entre dos puntos es definido para ser la longitud del segmento de línea entre ellos. Así que podemos suprimir la palabra "más corto" y decir que "La distancia entre dos puntos distantes cualesquiera es la longitud del segmento de línea que los une".

Es de suponer que quiere saber que recorrer cualquier otro camino será como mínimo igual de largo. Una forma de "ver esto" es que se puede aproximar cualquier curva con una trayectoria poligonal, y éstas satisfacen la desigualdad del triángulo , lo que hará que el camino sea más largo.

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SecretDeveloper Puntos 1869

Dejemos que $\gamma(s)$ sea una curva continua en el plano con puntos extremos $\gamma(0) = a$ y $\gamma(1) = b$ . Utilizando el Euler-Lagrange la única solución estacionaria es $\gamma(s) = bs + (1 - s)a$ que es una línea que conecta los dos puntos finales. Ver también este .

2voto

Rahul Shah Puntos 328

Piensa en todos los caminos posibles como figuras geométricas. En un triángulo, la suma de dos lados cualesquiera es mayor que el tercer lado. Por lo tanto, si vas por cualquier otro camino que no sea una línea recta, viajas más.

-1voto

Andrew Whitehouse Puntos 1353

Aquí está mi solución autónoma, que hace no hacen la suposición innecesaria de que el camino es una función. También lo hace no se supone un conocimiento previo de la ecuación de Euler-Lagrange.

Para ello, lo reformulo como un problema de física:
Sabemos que la luz siempre toma el camino más rápido entre dos puntos.
Si suponemos que la velocidad de la luz es constante, entonces el más rápido es el mismo que el camino más corto, y los dos problemas se vuelven equivalentes.
Por lo tanto, pedimos: cuál sería la trayectoria de un rayo de luz de $\vec{p}_1$ a $\vec{p}_2$ ?

Si llamamos a esta trayectoria $\vec{r}(t)$ En un principio, podemos desear intuitivamente hacer una declaración como: \begin {align*} \frac {d}{d \vec {r}} \operatorname {Longitud}( \vec {r}) = 0 \end {align*} Esta afirmación es claramente errónea, pero casi correcta.
La formulación correcta requiere un pensamiento indirecto y la introducción de una variable auxiliar, $\epsilon$ .

Observaciones clave:

  1. Si $\vec{p}$ es el camino más corto, y si $\vec{\delta} = \vec{r} - \vec{p}$ es la desviación de $\vec{r}$ de $\vec{p}$ para algún número real arbitrario $\epsilon$ y, a continuación, demostrar que $\vec{p}(t)$ es una línea, basta con mostrar $\ddot{\vec{p}}(t) = \vec{0}$ .

  2. Si "empujamos" el camino más corto en algún pequeño múltiplo constante $\epsilon$ de $\vec{\delta}$ El camino no puede ser más corto (por definición). Por lo tanto, la tasa de cambio de la longitud del camino más corto con respecto a $\epsilon$ es cero cuando $\epsilon = 0$ .

Asegúrate de que comprendes la intuición de por qué son verdaderas antes de continuar.

\begin {align*} \frac {d}{d \epsilon } \left.\operatorname {Longitud}( \vec {p} + \epsilon\ , \vec { \delta }) \right |_{ \epsilon =0} &= 0 && \text {(ya que $\vec{p} + \epsilon\,\vec{\delta}$ es un minimizador cuando $\epsilon = 0$ )} \\ \frac {d}{d \epsilon } \left.\int_ {t_1}^{t_2} \sqrt { \lVert { \dot { \vec {p}}(t) + \epsilon\ , \dot { \vec { \delta }}(t)} \rVert ^2}\N-, dt \right |_{ \epsilon =0} &= 0 && \text {(definición de longitud de arco)} \\ \int_ {t_1}^{t_2} \frac {d}{d \epsilon } \left.\sqrt { \lVert { \dot { \vec {p}}(t) + \epsilon\ , \dot { \vec { \delta }}(t)} \rVert ^2} \right |_{ \epsilon =0}\N,dt &= 0 \\ \int_ {t_1}^{t_2} \dot { \vec { \delta }}(t) \cdot \left.\frac {2( \dot { \vec {p}}(t) + \epsilon\ , \dot { \vec { \delta }}(t))}{2 \lVert { \dot { \vec {p}}(t) + \epsilon\ , \dot { \vec { \delta }}(t)} \rVert } \right |_{ \epsilon =0}\N,dt &= 0 \\ \int_ {t_1}^{t_2} \dot { \vec { \delta }}(t) \cdot \frac { \dot { \vec {p}}(t)}{ \lVert { \dot { \vec {p}}(t) \rVert }\a, dt &= 0 && \text {(evaluar en $\epsilon = 0$ )} \\ \frac {1}{ \Vert { \dot { \vec {p}}} \rVert } \int_ {t_1}^{t_2} \dot { \vec { \delta }}(t) \cdot \dot { \vec {p}(t) \N - dt &= 0 && \text {( $\Vert{\dot{\vec{p}}}\rVert$ es constante)} \\ { \left.\vec { \delta }(t) \cdot \frac { \dot { \vec {p}}(t)}{ \lVert { \dot { \vec {p}}(t) \rVert }} \right |_{t_1}^{t_2}} - \frac {1}{ \Vert { \dot { \vec {p}}} \rVert } \int_ {t_1}^{t_2} \vec { \delta }(t) \cdot \ddot { \vec {p}(t) \N - dt &= 0 && \text {(integración por partes; nótese que $\vec{\delta}(t_1) = \vec{\delta}(t_2) = \vec{0}$ )} \\ - \frac {1}{ \Vert { \dot { \vec {p}}} \rVert } \int_ {t_1}^{t_2} \vec { \delta }(t) \cdot \ddot { \vec {p}(t) \N - dt &= 0 && \text {(la parte izquierda es cero porque los puntos finales deben coincidir)} \\ \therefore\ \ \ \forall t \in [t_1, t_2]\N-\N-\N-\N-\N-\N-\N-\N- \ddot { \vec {p}}(t) &= \vec {0} && \text {(ya que $\vec{\delta}$ podría ser cero en cualquier parte de $\vec{p}$ )} \end {align*}

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