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Es esta función la disminución de $(0,1)$?

Haciendo un poco de investigación me quedé atrapado tratando de demostrar que la siguiente función es decreciente

$$f(k):= k K(k) \sinh \left(\frac{\pi}{2} \frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}\right)$$ por $k \in (0,1)$.

Aquí $K$ es la integral elíptica Completa de primera especie, que se define por $$K(k):= \int_{0}^{1} \frac{dt}{\sqrt{1-t^2} \sqrt{1-k^2t^2}}.$$

Esto parece ser cierto que, como en el siguiente gráfico sugiere :

graph of $f$

Yo realmente no sé mucho acerca de las integrales elípticas, así que tal vez alguien de aquí puede dar un poco de perspectiva. Cualquier referencia en las integrales elípticas de primera especie es bienvenido.

Gracias, Malik

EDITAR (2012-07-09) :

Utilizando J. M. sugerencia para reescribir la función $f(k)$ como $$f(k) = kK(k) \frac{1-p(k)}{2 \sqrt{q(k)}}$$ y el uso de la derivada fórmulas $$K'(k) = \frac{E(k)}{k(1-k^2)} - \frac{K(k)}{k},$$ $$q'(k)=\frac{\pi^2}{2} \frac{p(k)} { K(k)^2 (1-k^2)k}$$ donde $E(k)$ es la integral elíptica de segunda especie, yo era capaz de calcular $f'(k)$ y reducir el problema a mostrar que la siguiente función es negativo por $k \in (0,1)$ :

$$g(k):= 4(1-p(k))K(k)E(k) - \pi^2 (1+q(k)).$$

A continuación la gráfica de $g$ obtenidos con Maple :

enter image description here

EDITAR (19-07-2012)

Hice la pregunta en MathOverflow!

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Anthony Cramp Puntos126

Algunos términos más para aquellos que investigan. Madera De Arce. Estos coeficientes no son mencionados en el On-line de la Enciclopedia de Secuencias de Enteros.

$$ \frac{4}{\pi} \sqrt{m} \;K(4 \sqrt{m}) \sinh \biggl(\frac{\pi\; K(\sqrt{1 - 16 m})}{2\;K(4 \sqrt{m})}\biggr) \\ = 1 - m - 6 m^{2} - 54 m^{3} - 575 m^{4} - 6715 m^{5} - 83134 m^{6} - 1071482 m^{7} - \\ \quad{}\quad{} 14221974 m^{8} - 193050435 m^{9} - 2667157340 m^{10} - 37378279402 m^{11} - \\ \quad{}\quad{} 530024062361 m^{12} - 7590192561912 m^{13} - \\ \quad{}\quad{}109610113457650 m^{14} - 1594344146568120 m^{15} - \\ \quad{}\quad{}23336667998911128 m^{16} - 343468859344118109 m^{17} - \\ \quad{}\quad{}5079858166426507168 m^{18} - 75457168334744888190 m^{19} - \\ \quad{}\quad{}1125223725054635766392 m^{20} + \operatorname{O} \bigl(m^{21}\bigr) $$

agregó

Quién sabe si esto es relevante? Ver A002849 $$ \frac{2}{\pi}K(4\sqrt{m}) = 1+4m+36m^2+400 m^3+4900m^4+\dots =\sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n}^2m^n $$

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GH from MO Puntos11

Ver la evolución aquí. Parece que todo lo que queda es (razonable) numérico trabajo.

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