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Funciones del espacio de subconjuntos de un conjunto al espacio de topologías

Dejemos que $X$ sea un conjunto y $\mathcal P \left({X}\right)$ sea el conjunto de subconjuntos ordenados con inclusión. Sea $\mathcal{T}(X)$ sea el conjunto de todas las topologías en $X$ ordenados con inclusión de conjuntos. Sea $\mathcal{T}(X)/ \sim$ denotan el conjunto cociente que identifica las topologías homeomórficas (en otras palabras, el conjunto de topologías no homeomórficas en $X$ ).

(?) ¿Cuál es la cardinalidad de $\mathcal{T}(X)/ \sim$ ? AÑADIDO : Contestación de Brian. $X$ sea un conjunto con cardinalidad infinita $k$ . Entonces la cardinalidad de $\mathcal{T}(X)/ \sim$ es $2^{2^k}$

Intento definir y dar sentido a funciones como ésta:

$$f:\mathcal P \left({X}\right) \to \mathcal{T}(X)/ \sim$$ Si $U$ es un subconjunto de $X$ entonces:

$$f(U)=\tau\quad\text{iff}\quad\tau\text{ is the coarsest Hausdorff topology for which }U\in\tau\in\mathcal{T}(X)/\sim$$

(?) ¿Está bien definida esta función?

Me interesan las funciones en las que "Hausdorff más grueso" puede cambiarse por otras propiedades que debe satisfacer la topología. Por ejemplo, "Finest connected" siempre que los mapas estén bien definidos.

( ) ¿Cuáles serían las topologías adecuadas para dar $\mathcal P \left({X}\right)$ y $\mathcal{T}(X)/ \sim$ ?

Me gustaría tener funciones continuas para poder tomar un límite convergente de una secuencia de subconjuntos y afirmar que la correspondiente secuencia de topologías converge.

Básicamente me gustaría saber si se ha estudiado esta estructura, ya que intuyo que podría profundizar en mi conocimiento.

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DiGi Puntos 1925

En general, es probable que no pueda llevar a cabo un programa de este tipo. Por ejemplo, su función $f$ no está bien definida: no existe una topología de Hausdorff más gruesa en un conjunto infinito.

Dejemos que $X$ ser infinito, y fijar puntos distintos $p,q\in X$ . Dejemos que

$$\tau_p=\big\{\{x\}:x\in X\setminus\{p\}\big\}\cup\{U\subseteq X:p\in U\text{ and }X\setminus U\text{ is finite}\}$$

y

$$\tau_q=\big\{\{x\}:x\in X\setminus\{q\}\big\}\cup\{U\subseteq X:q\in U\text{ and }X\setminus U\text{ is finite}\}\;;$$

$\tau_p$ y $\tau_q$ son topologías compactas de Hausdorff en $X$ y por lo tanto son topologías mínimas de Hausdorff en $X$ . Sin embargo,

$$\tau_p\cap\tau_q=\big\{\{x\}:x\in X\setminus\{p,q\}\big\}\cup\{U\subseteq X:\{p,q\}\subseteq U\text{ and }X\setminus U\text{ is finite}\}\;,$$

que no contiene una topología de Hausdorff: ninguna topología $\tau\subseteq\tau_p\cap\tau_q$ contiene nbhds disjuntos de $p$ y $q$ .

Por supuesto $\tau_p$ y $\tau_q$ son homeomórficos, así que esto no es del todo un contraejemplo, pero es indicativo de los problemas potenciales. También lo es el hecho de que hay topologías de Hausdorff que no contienen topologías mínimas de Hausdorff: la topología habitual en $\Bbb Q$ es un ejemplo bien conocido.

Añadido de los comentarios: Dejemos que $X$ sea un conjunto infinito de cardinalidad $\kappa$ . Hay $2^{2^\kappa}$ distintos ultrafiltros en $X$ y si $\mathscr{U}$ es un ultrafiltro en $X$ entonces $\mathscr{U}\cup\{\varnothing\}$ es una topología en $X$ . Sólo hay $2^\kappa$ permutaciones de $X$ , por lo que hay $2^{2^\kappa}$ ultrafiltros no isomórficos por pares, que producen $2^{2^\kappa}$ topologías no-homogéneas por pares. Evidentemente, hay a lo sumo $2^{2^\kappa}$ topologías no-homeográficas por pares en $X$ así que debe haber exactamente esa cantidad.

Añadido: El entramado de topologías sobre un conjunto es algo que se ha estudiado bastante. En esta respuesta Menciono varias topologías sobre retículos y órdenes parciales que se han estudiado; no sé si alguna de ellas es útil para tus propósitos. Sin embargo, debes tener en cuenta que para muchas propiedades topológicas simplemente no hay una topología más fina o más gruesa con esa propiedad en un conjunto dado. Un par de trabajos que pueden ser de interés al respecto son los de Manuel P. Berri, Espacios topológicos mínimos , Trans. Amer. Math. Soc. $108$ $(1963)$ , $97$ - $105$ y M.P. Berri, J.R. Porter y R.M. Stephenson, Un estudio de los espacios topológicos mínimos , Topología general y sus relaciones con el análisis y el álgebra modernos , Praha: Editorial de la Academia de Ciencias de Checoslovaquia, $1971$ , $93$ - $114$

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Brian Rushton Puntos 10407

Esto no es en absoluto lo que buscas, pero ¿por qué no buscar topologías no Hausdorff? ¿Sabías que todo complejo CW finito es equivalente en homotopía a un espacio no Hausdorff con un número finito de puntos? Y para cada subconjunto de un espacio, existe una topología única dada por ese conjunto, el conjunto vacío y el conjunto entero. Este mapa es ciertamente continuo bajo cualquier topología natural en cualquiera de los conjuntos. Entonces se pueden observar "vecindades" de puntos incrustados en el espacio de las topologías. Una topología natural en el conjunto de topologías es tomar como subbase todos los conjuntos que consisten en topologías donde un subconjunto fijo es abierto.

Así, por ejemplo, un elemento de subbase para la topología sobre los reales podría consistir en todas las topologías en las que la razón es abierta.

Podría ser divertido.

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fianchetto Puntos 186

En el caso de $X$ finito ( $|X|=n$ ), la cardinalidad buscada es igual al número de formas de dividir el número $n$ como una suma de enteros positivos. Sólo uno de ellos es Hausdorff.

Por ejemplo, para $n=4$ , $$ n=4, \quad n=3+1, \quad n=2+2, \quad n=2+1+1, \quad n=1+1+1+1, $$ es decir, cinco topologías diferentes, hasta el homeomorfismo.

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