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Por qué usted necesita para utilizar la regla de la cadena en la diferenciación de ln?

Entiendo que la aplicación de la regla de la cadena en la diferenciación de una función random $(x^2+3)^3$.

Pero, ¿por qué usted necesita para usar la cadena la regla de la hora de diferenciar algo como $\ln(2x-1)$; ¿por qué no acaba de ser $\displaystyle\frac 1{2x-1}$? Por favor, ayudar.

26voto

Hurkyl Puntos 57397

El teorema de que usted está tratando de usar dice

La derivada de $\ln x$ con respecto al $x$ $\frac{1}{x}$

Entonces, ¿qué acerca de tomar la derivada de $\ln(2x+1)$? Bien, $\ln(2x+1)$ no $\ln x$, por lo que el teorema no nos dice nada acerca de la derivada de $\ln(2x+1)$ con respecto al $x$.

Invocamos a la regla de la cadena, de modo que podemos reescribir el problema de una manera consiste en encontrar la derivada de $\ln x$ junto con algunas otras cosas que sabemos hacer.

Por cierto, algunos textos nunca escribir teoremas, como el anterior, y siempre prefieren escribir teoremas como

La derivada de $\ln f(x)$ con respecto al $x$$f'(x) / f(x)$.

25voto

mkoryak Puntos 18135

Puede ser un poco extraño decir que usted necesita para utilizar una fórmula o regla. Creo que es más una cuestión de la que usted puede usar la fórmula.

Así que cuando se puede utilizar la regla de la cadena? Puede utilizar la regla de la cadena cuando usted toma la derivada de una composición de dos funciones. Si $F(x) = f(g(x))$,$F'(x) = f'(g(x))g'(x)$.

Y si $F(x) = \ln(2x -1)$, $F(x) = f(g(x))$ donde$f(x) = \ln(x)$$g(x) = 2x-1$. Y desde $f'(x) = \frac{1}{x}$ $g'(x) = 2$ consigue $$ F'(x) = f'(g(x)g'(x) = \frac{1}{g(x)}g'(x) = \frac{1}{2x-1}2. $$

13voto

Usted necesidad de utilizar la regla de la cadena, porque es una composición de funciones: $f(x) = \ln(x)$$g(x) = 2x-1$, por lo que vemos a $\ln(2x-1)$$f(g(x))$.

6voto

Justin Puntos 1051

Sólo para añadir a las otras respuestas:

Te preguntas por qué usted necesita para utilizar la regla de la cadena. La respuesta es porque siempre usamos la regla de la cadena. Cuando hacemos $\frac d{dx}f(x)$, utilizamos la regla de la cadena.

$f(x)$ siempre es la composición de dos funciones: el sí mismo y la identidad de la función ($I(x)=x$).

Así que cuando escribimos

$$\frac d{dx}f(x) = f'(x)$$

nosotros en realidad terminan haciendo

$$\frac d{dx}f(x)=f'(x)I'(x)I'(x)I'(x)\cdots$$

Pero eso es sólo

$$\qquad\quad\,\,\,=f'(x)\times1\times1\times1\times\cdots$$ $$=f'(x)\qquad\qquad$$

Pero ya que es obvio que esos son los pasos innecesarios, cuando aplicamos la regla de la cadena hasta el punto de que estaríamos a la creación de $I'(x)$, nos detenemos.

TLDR: Cuando diferenciar, siempre hay que aplicar la regla de la cadena (al menos mentalmente comprobar si es necesario) porque, te guste o no, la regla de la cadena se aplica siempre.


Además, si nos podía hacer lo que usted describe, a continuación, tomar derivados vuelve trivial:

$$\frac d{dx}f(x) = \frac d{dx}\left(\ln\left(e^{f(x)}\right)\right)$$

$$=e^{-f(x)}\,\,$$

Pero esto claramente no es cierto. Si expande correctamente con la regla de la cadena, el último paso a cambios

$$=e^{-f(x)}\frac d{dx}e^{f(x)}$$

$$\quad\,=e^{-f(x)}(e^{f(x)})f'(x)$$

$$=f'(x)\qquad\quad\,\,$$

Lo cual es correcto.

5voto

Zimul8r Puntos 620

Aunque la pregunta que literalmente dice: "...¿por qué necesita el uso de la cadena la regla de...", ya que el cartel pensé que la respuesta debe ser $\frac{1}{2x-1}$, creo que es claro que el cartel está luchando con el "¿por Qué hay un factor adicional de la derivada de la pieza interior?", no se si usted necesita o no "usar" la regla de la cadena.

Con respecto a algunos de los otros excelentes respuestas aquí, la ejecución de este ejemplo, a través de la definición de límite, mientras que él no muestran que un factor adicional que aparece y de hecho es la derivada de la "pieza interior", me parece que esta explicación rara vez ayuda a los estudiantes a entender (o tal vez la palabra correcta es creer) que esta es la regla general. Y, francamente, corriendo a través del montón de ejemplos o más límite genérico de las pruebas, que no parecía seguir con mi promedio de los estudiantes. En mi humilde opinión, el déficit de aquí proviene de nosotros, como una comunidad, ser descuidado en nuestra notación, y confundir a los estudiantes con las generalizaciones y corto la mano.

El cartel se muestra convencido de que la derivada de $ln(x)$$\frac{1}{x}$. Esta es una verdad parcial.

De hecho, este es el derivado de la $ln(x)$ con respecto al $x$! Se aprovecha el hecho de que la derivada de $x$ con respecto al $x$ es 1, lo que simplifica la regla en este caso.

Sin embargo, la regla es que el general derivado de la $ln(u)$, con respecto a $x$ $\frac{1}{u}du$ donde $du$ es el derivado de la $u$ con respecto al $x$.

Si usted piensa siempre de la regla como $d(ln(x)) = \frac{1}{x}dx$, la regla de la cadena elemento que está ahí incrustado en su base de fórmulas. De hecho estaba allí, sólo nos disfrazado como "wrt $x$" y, a continuación, perezoso y dejó de ser explícito acerca de porque "todos sabíamos lo que significaba".

(Voy a evitar divagar en el comentario social sobre por qué ignorar el respeto que nos pone en problemas. ;-)

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