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la desigualdad integral $f(x)$ y $f(\sqrt{x})$

Demostrar que si $f(x)\in [0;1]$, $f\in C$ y $\int\limits_{1}^{+\infty}f(t)dt=A$ $\int\limits_{1}^{+\infty}tf(t)dt>\frac{A^2}{2}$

Yo sólo he notado dos cosas pequeñas:

  1. Si $A=1$ la desigualdad es obvia, ya que la expectativa de una variable aleatoria que toma valores superiores a $1$

  2. $\int\limits_{1}^{+\infty}tf(t)dt = \dfrac{1}{2}\int\limits_{1}^{+\infty}f(\sqrt{t})dt$

Por favor, proporcione sugerencia para próximos pasos

También, en algún momento, a la izquierda de la obtención de:

$$ A^2 = \left[\int\limits_{1}^{+\infty}f(x)x\dfrac{1}{x}dx\right)^2 \leq \int\limits_{1}^{+\infty}\left(f(x)x\right)^2dx\int\limits_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{x}\right)^2dx\leq \int\limits_{1}^{+\infty}f(x)x^2dx $$

6voto

Weasel Puntos 76

$$\begin{aligned} \int\limits_{1+A}^\infty xf(x)\,dx &\geq (1 + A)\int\limits_{1+A}^\infty f(x)\,dx\\ &= (1 + A)\Bigl[A - \int\limits_{1}^{1+A}f(x)\,dx\Bigr]\\ &= (1+A)\int\limits_{1}^{1+A}\underbrace{(1-f(x))}_{\geq 0}\,dx \\ &\geq \int\limits_{1}^{1+A}x(1-f(x))\,dx \end{alineado} $$ así $ \int\limits_{1}^\infty xf (x) \,dx \geq \int\limits_{1}^{1+A}x\,dx. $$

3voto

Roger Hoover Puntos 56

Deje $g(t)=f(t+1)$. Tenemos que probar que para cualquier $g\in C^0(\mathbb{R}^+)$ tal que $g$ es acotada entre $0$$1$$\int_{0}^{+\infty}g(t)\,dt = A$, $$ \int_{0}^{+\infty}(t+1)\,g(t)\,dt >\frac{A^2}{2}$$ sostiene. Deje $\xi$ ser el único número real tal que $\int_{0}^{\xi}g(t)\,dt = \frac{A}{2}$ (la mediana). Tenemos: $$ \int_{\xi}^{+\infty}(t+1)\,g(t)\,dt \geq (\xi+1)\int_{\xi}^{+\infty}g(t)\,dt = (\xi+1)\frac{A}{2}\tag{1}$$ pero desde $g(t)$ es acotada entre $0$ y $1$, $\xi\geq \frac{A}{2}$ y el $RHS$ $(1)$ es mayor que $\color{red}{\large\frac{A^2}{4}}$.

Ahora sólo tenemos que refinar un poco este argumento y tal vez considerar lo que sucede en el $(0,\xi)$:

$$\int_{0}^{\xi}t g(t)\,dt = \left. t\,G(t)\right|_{0}^{\xi}-\int_{0}^{\xi}G(t)\,dt \geq \frac{\xi(A-\xi)}{2}\tag{2}$$ desde $g\in(0,1)$ garantiza $G(t)\leq t$. Sin embargo, que no mejora $(1)$ si $\xi\geq A$.
De todos modos, ahora podemos considerar las $g_1(t)=g(t+\xi)$, que es continua y acotada (entre $0$$1$) cuya función integral sobre la $\mathbb{R}^+$$\frac{A}{2}$. Deje $\xi_1$ ser el único número real positivo tal que $\int_{0}^{\xi_1}g_1(t)\,dt = \frac{A}{4}$. Tenemos $\xi_1\geq \frac{A}{4}$ y el: $$ \int_{\xi}^{+\infty}t\,g(t)\,dt = \frac{\xi A}{2}+\int_{0}^{+\infty}t\,g_1(t)\,dt\geq \frac{\xi A}{2}+\frac{\xi_1 A}{4}\tag{3}$$ así, por recorrer en este argumento, obtenemos: $$ \int_{\xi}^{+\infty} t\,g(t)\,dt \color{red}{\geq} \left(\frac{A}{2}\right)^2+\left(\frac{A}{4}\right)^2+\left(\frac{A}{8}\right)^2+\ldots = \color{red}{\frac{A^2}{3}}.\tag{4}$$

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