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Geometrías coercitivas conocidas en la cultura popular, como "toro plano = videojuego de asteroides"

Al responder una pregunta mencioné el videojuego Asteroides como un ejemplo, en un momento, el ejemplo canónico, de una geometría localmente plana que es globalmente diferente del plano euclidiano. Podría estar desactualizado en 2010. Esto plantea su propia pregunta:

¿hay otros ejemplos de la vida real de geometrías formadas por identificaciones? Conocemos el cilindro y la tira de Moebius y probablemente hay algunos equivalentes interesantes de esos. El origami son cubiertas de un toro perforado y he oído que hay ejemplos de ganchillo de objetos complicados en 2 y 3 dimensiones. ¿Hay ejemplos simples, como los de los asteroides, de superficies planas formadas como cocientes? Los pinchazos y los puntos orbitales y los ejemplos de dimensiones superiores serían todos interesantes, pero estoy buscando menos ejemplos matemáticamente sofisticados que relevantes para la conversación, como un famoso juego o artilugio que hace que un teléfono móvil funcione como un toro en lugar de un rectángulo.

(edición: Pac-Man, juegos de mesa como los Chutes y Ladders, o cualquier juego con portales mágicos que te transportan entre diferentes lugares, todos ilustran la identificación de puntos o piezas del espacio, pero conducen a geometrías no homogéneas. Lo bueno de los asteroides era que era claramente toda la geometría uniforme del toro.

edit-2: el salvapantallas de las Tostadoras Voladoras habría sido un ejemplo de lo que quiero decir, excepto que el vídeo de la misma existe en línea y muestra que es una ventana cuadrada en movimiento en el plano euclidiano ordinario).

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Chris Puntos 133

Se podría ver un caleidoscopio como una imagen de un patrón en el cociente del plano por una acción de grupo adecuada.

pic

De manera similar, algunos trabajos de Escher son una imagen de la vida dentro de las superficies hiperbólicas, cocientes del plano hiperbólico.

Escher

En el extremo más extremo, $ \mathbb R^2$ es un cociente de $ \mathbb R$ así que presumiblemente tienes en mente una pregunta más estricta que la que has escrito, ya que puedes obtener todo tipo de cosas como cocientes. $SO_3$ (rotaciones en 3 espacios) son un cociente de los cuaterniones de la unidad. Esto se utiliza en los gráficos por ordenador, entre otras cosas.

Para el caleidoscopio, realmente estás viendo el cociente como un orbifold con su estructura geométrica natural, en lugar de sólo como un espacio topológico.

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Eran Medan Puntos 193

Muchos juegos de rol tienen mundos toroidales. Especialmente los juegos de Dragon Quest y Final Fantasy. Es una pena que pocos se tomen la molestia de implementar una verdadera topología esférica. No me importa que otras topologías encajen en el mundo del juego, pero en los juegos de rol se entiende que el mundo debe ser como la Tierra.

Y luego, también está este maravilloso sitio:

http://www.geometrygames.org/HyperbolicGames/

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David Hicks Puntos 717

Los juegos originales de Sonic the Hedgehog (en el Sega Genesis y consolas similares) proporcionan buenos ejemplos. Muchos de los niveles se envuelven verticalmente, de modo que no hay fondo ni parte superior. Son equivalentes a los cilindros, supongo.

Aquí hay algunos ejemplos de Sonic 3:

http://info.sonicretro.org/File:Ic1map.PNG
http://info.sonicretro.org/File:Mg1map.PNG

Los diseñadores usaron esto para hacer la colina gigante al principio del nivel de la capa de hielo que es muchas veces más alta que el nivel mismo. Además, las etapas de Sonic 3 Special son toroidales, al igual que los Asteroides, aunque en el juego se presentan con una aparente curvatura esférica, que me tenía terriblemente perdido y confundido hasta que lo busqué en Google. En retrospectiva, debería haberme dado cuenta de que no se puede cubrir una esfera con cuadrados, pero Sonic no te da exactamente mucho tiempo para pensar.

http://info.sonicretro.org/File:S%26KSS1.png
http://www.youtube.com/watch?v=LpDbSlbhP5M

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Flatlineato Puntos 226

En (algunos de) los Juegos de civilización puedes decidir si quieres jugar en un plano (delimitado), o en un cilindro, o incluso en un toro, creo.

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Drew Gibson Puntos 930

Una pista de carreras es un buen ejemplo unidimensional. Comenzamos con la línea real e identificamos todos los puntos {x + n*400m}, o equivalentemente tomamos un segmento de línea de 400 metros de largo y pegamos los extremos. Ahora, podemos sentarnos en las gradas y ver toda una carrera de 800, 1600 o 3200 metros, ¡porque tenemos una bonita pista "compacta"!

Una vez que explique cómo el embaldosado de la línea real con segmentos de 400m lleva a una pista de carrera, puede ser más fácil explicar cómo los embaldosados bidimensionales del plano (o de la esfera o del plano hiperbólico) pueden llevar a espacios de cociente. Por supuesto, necesitamos saber cómo pegar los bordes, y ese punto puede ser un poco vago en una conversación casual pero si no hay Asteroides disponibles, creo que los alicatados son una de las mejores maneras de visualizar los espacios de cociente.

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