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Es $\{\tan(x) : x\in \mathbb{Q}\}$ un grupo en virtud de la suma?

Un estudiante me preguntó el siguiente día de hoy :

Es $S:= \{\tan(x) : x\in \mathbb{Q}\}$ un grupo en virtud de la suma?

Estoy bastante perplejo. Claramente, el único no-trivial parte es comprobar

Para cualquier $x, y\in \mathbb{Q}$, no existe $z \in \mathbb{Q}$ tal que $$ \tan(z) = \tan(x) + \tan(y) $$

Un par de cosas que he aprendido de diversas fuentes que parecen ser relevantes son :

  1. (Fuente) Si $x \in \mathbb{Q}\setminus\{0\}$, entonces $\tan(x) \in \mathbb{Q}^c$.
  2. (Fuente) $\arctan(\alpha)$ es un racional múltiplo de $\pi$ ffi $\exists n \in \mathbb{Z}$ tal que $(1+i\alpha)^n \in \mathbb{R}$

Mi conjetura es que no es un grupo, y mi objetivo inicial era encontrar dos $x,y \in \mathbb{Q}$ tal que $\tan(x) + \tan(y) \in \mathbb{Q}$, pero que parece ir a ninguna parte.

Tal vez me estoy perdiendo algo obvio, pero no parece que la huelga de mí. ¿Alguien tiene una sugerencia sobre cómo hacer frente a esto? Gracias por tu ayuda.

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user8268 Puntos 13913

De ello se deduce fácilmente a partir de este hecho: por cada $0\neq n\in\mathbb N$ número $e^{i/n}$ es trascendental. Si suponemos que: si $\bronceado y=2\tan x$ entonces $(e^{2iy}-1)(e^{2ix}+1)=2(e^{2ix}-1)(e^{2iy}+1)$. Si $x\neq0$ y $y$ son racionales y $n$ es el mínimo común denominador de $x$ y $y$, esto se convierte en una ecuación polinómica de $e^{i/n}$, por lo tanto tenemos una contradicción.

[utiliza el resultado es un caso especial de la Lindemann-Weierstrass teorema que dice, en particular, que $e^\alpha$ es trascendental para cada algebraicas $\alpha\neq0$. Probablemente hay una sencilla prueba en este caso.]

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